电子神做女学 例 /966 第二章 位势方程 1
第二章 位势方程 1
引言 鱼 ◆2.1基本解 ◆2.2平均值等式 ◆2.3最大值最小值原理及其应用 ◆2.4 Green函数 ◆2.5调和函数的性质 ◆2.6能量法 2
引言 2 2.1 基本解 2.2 平均值等式 2.3 最大值最小值原理及其应用 2.4 Green函数 2.5 调和函数的性质 2.6 能量法
引言 本章主要介绍位势方程 -△u=f(x) 它是椭圆型方程的典型代表。当f(x)不恒等于零时，称它为Poisson方程；当 f(x)=0时，称方程为调和方程，或称为Laplace方程。调和方程是所有偏微分 方程中最重要的方程，它是本章主要讨论的对象，其具体形式为 八Au=-之3 =0 (2.0.1) 其中，n维自变量x=(x,x2,…,xn)∈22是R"中的区域。称（2.0.1)的解 u∈C2(2)为2中的调和函数。 3
引言 本章主要介绍位势方程 u f x( ) 它是椭圆型方程的典型代表。当 f x( ) 不恒等于零时，称它为 Poisson 方程；当 f x( ) 0 时，称方程为调和方程，或称为 Laplace 方程。调和方程是所有偏微分 方程中最重要的方程，它是本章主要讨论的对象，其具体形式为 2 2 1 0 n i i u u x （2.0.1） 其中， n 维自变量 1 2 ( , , , ) n x x x x ， 是 n R 中的区域。称（2.0.1）的解 2 u C ( ) 为 中的调和函数。 3
引言 在很多物理现象中会出现调和方程，它描述的是平衡稳定的状态。例如，平 衡状态下薄膜的微小横震动，稳定状态下均匀且各向同性的介质组成的物体的温 度（或化学物质的浓度)。大家从普通物理学知道，分布在三维空间区域Ω上的 静电场的电位函数(x,y,z),若2内的电荷密度为p(x,y,z),则u满足Poiss0n 方程-△u=4p(x,y,2);若2中无电荷，则u满足调和方程（2.0.1)。 为了理论和应用的需要，我们进一步引入下述概念： 如果u∈C2(2),并且在2中满足 -△u≤0(20) )0 则称u是2中的下调和（上调和)函数。 4
引言 在很多物理现象中会出现调和方程，它描述的是平衡稳定的状态。例如，平 衡状态下薄膜的微小横震动，稳定状态下均匀且各向同性的介质组成的物体的温 度（或化学物质的浓度）。大家从普通物理学知道，分布在三维空间区域 上的 静电场的电位函数 u x y z ( , , ) ，若 内的电荷密度为 ( , , ) x y z ，则 满足 Poisson 方程 u x y z 4 ( , , ) ；若 中无电荷，则 满足调和方程（2.0.1）。 u u 为了理论和应用的需要，我们进一步引入下述概念： 如果 2 u C ( ) ，并且在 中满足 u 0( 0) （2.0.2） 则称 u 是 中的下调和（上调和）函数。 4
引言 平面区域上的调和函数已在复变函数论中讨论过，我们将主要讨论R"(n≥3) 中的情况，如无特别声明，本章中2均指连通区域。这里我们的出发点是R”中熟 知的Gauss-Green定理。设2是一个具有C边界2的有界开区域，并设v表示 2的单位外法向量。于是有 定理1（Gauss-Green)定理 ()设u∈C(),则有 ∫n4,dk=∫gwdS.i=l2,,m） (i)对任一向量场W∈C(2;R”)有 5
引言 平面区域上的调和函数已在复变函数论中讨论过，我们将主要讨论 ( 3) n n 中的情况，如无特别声明，本章中 均指连通区域。这里我们的出发点是 中熟 知的 Gauss Green 定理。设 是一个具有 1 C 边界 的有界开区域，并设 表示 的单位外法向量。于是有 定理1（ Gauss Green ）定理 ()i 设 ，则有 .( 1,2, , ) i i x u dx u dS i n （2.0.3） ( ) ii 1 u C ( ) 对任一向量场 1( ; ) n W C 有 5 n
引言 ∫divWdx=∫w.vdS (2.0.4) 这里，dS表示O2中的n-1维面积元素。 对向量W=(,·,”)的每一个分量应用结论()可得结论(i),结论(i)也被 称为散度定理。 应用定理1有： 定理2（分部积分公式）设“，v∈C(反)，则有 Susvd+dS.(i=1.2..n) 2.0 证明：对u,v应用定理1()即可得证。 6
引言 （2.0.4） 这里， dS 表示 中的 n 1 维面积元素。 对向量 1 ( , , )n W u u 的每一个分量应用结论 ()i 可得结论 ( ) ii ，结论 ( ) ii 也被 称为散度定理。 定理2（分部积分公式）设 1 u ， v C ( ) ，则有 ,( 1,2, , ). i i i x x u vdx uv dx uv dS i n divWdx W dS （2.0.5） 证明：对 u ， v 应用定理1 应用定理1有： ()i 即可得证。 6
引言 定理3(Green公式)设u,v∈C2(②)，则有 0laa=Jn0s: ov ds, 间jDu-Dd=-nAds+jo" w-k=- ou ds (i式称为Green第一公式，(ii式称为Green?第二公式。 7
引言 定理3（Green公式）设 u v C , ( ) 2 ，则有 ()i u udx dS ； ( ) ii v Du Dvdx u vdx u dS ； ( ) iii . v u u v v udx u v dS (ii)式称为Green第一公式，(iii)式称为Green第二公式。 7
引言 我们不加证明地叙述下面的定理，它将维积分转化为球面积分。 定理4（极坐标公式） ()设f:R”→R是连续可积函数，则对每一个x。∈R”,有 ∫nf=0可anSh (i)特别地，对每一个r>0,有 子a-=,成 定理4是Coarea公式的特殊情形。 8
引言 我们不加证明地叙述下面的定理，它将n 维积分转化为球面积分。 定理4（极坐标公式） ()i 设 : n f 是连续可积函数，则对每一个 0 n x ，有 0 0 ( , ) ( ) . n R B x r fdx fdS dr ( ) ii 特别地，对每一个 r 0 ，有 0 0 ( , ) ( , ) ( ) . B x r B x r d fdx fdS dr 定理4是Coarea公式的特殊情形。 8
电子神发女学 例 /966 21基本解 9
2.1 基本解 9
2.1基本解 记R"(n≥2)中点x的模为 下面，我们求调和方程的径向对称解。令u=(r),代入(2.01)，得 △u=d)+”-）=0, 解这个常微分方程，得到，对某常数a有山=ar”,因此有 blogr+c,n=2, 其中，b,c是常数。 )=br2-+c,n23, 10
2.1 基本解 10 记 下面，我们求调和方程的径向对称解。令 ( 2) n n 中点 x 的模为 1 2 2 1 . n i i r x x u u r ( ) ，代入（2.01），得 1 ( ) ( ) 0, n u u r u r r 解这个常微分方程，得到，对某常数 a 有 1 n u ar ，因此有 2 , 2, ( ) , 3, n blogr c n u r br c n 其中， b ， c 是常数