§4.2二阶矩随机变量空间及均方极限 均方微积分应用实例一 数学模型：Black-Scholes:期权定价公式 1997年的诺贝尔经济学奖获得者，美国 学者：Robert C.Merton;yron.Scholes 以及Fisher Black(1938-1995)创建的了著名 的Black-Scholes理论. 电子科技大学
电子科技大学 均方微积分应用实例一 数学模型: Black-Scholes期权定价公式 1997年的诺贝尔经济学奖获得者，美国 学者：Robert C.Merton; Myron. Scholes 以及Fisher Black (1938-1995)创建的了著名 的Black-Scholes理论. §4.2 二阶矩随机变量空间及均方极限
Black-Scholes,在股票价格的变化是一种几 何布朗运动的假定下，从机理上导出一个随 机微分方程 dst St udt odWe 一股票的期望收益率， σ一股票收益率的波动率； W一标准布朗运动，表示了对股票收益率 的随机干扰作用. 电子科技大学
电子科技大学 σ—股票收益率的波动率； W t— 标准布朗运动，表示了对股票收益率 的随机干扰作用. Black-Scholes在股票价格的变化是一种几 何布朗运动的假定下，从机理上导出一个随 机微分方程 μ—股票的期望收益率
由此得到期权价格作为时间和股价的函 数所满足的抛物型方程及显示解，称为 Black-Scholes公式。 由Merton:进一步完善和系统化，创建了 Black-Scholes理论. 被誉为“华尔街第二次革命”； 人类有史以来使用最频繁的数学工具； 奠定了研究新型衍生证券设计的新学科一 金融工程的基础. 电子科技大学
电子科技大学 奠定了研究新型衍生证券设计的新学科— 金融工程的基础. 被誉为“华尔街第二次革命” ； 人类有史以来使用最频繁的数学工具； 由Merton进一步完善和系统化，创建了 Black-Scholes理论. 由此得到期权价格作为时间和股价的函 数所满足的抛物型方程及显示解，称为 Black-Scholes公式
均方微积分应用实例二 考虑一个时不变系统 x() 对任意常数工，输入和输出满足 y(t+)=L[x(t+)川 若L是积分算子，则 四=(t)h 若L是微分算子，则 ()= (t) dt 电子科技大学
电子科技大学 均方微积分应用实例二 L 考虑一个时不变系统 x(t) y(t) 对任意常数τ, 输入和输出满足 y(t ) L[x(t )] 若L是积分算子, 则 y t x t dt T 0 ( ) ( ) 若L是微分算子, 则 dt dx t y t ( ) ( )
对于随机输入信号X()如何进行微积分运算？ 二阶矩随机变量空间H 本章着重介绍二阶矩过程的随机分析一均 方意义下的微积分. 普通微积分学中的微分、积分、连续等 概念都是建立在极限的基础上，而极限定 义又取决于实数（复数）域上，点间距离的定义 电子科技大学
电子科技大学 对于随机输入信号X(t)如何进行微积分运算? 普通微积分学中的微分、积分、连续等 概念都是建立在极限的基础上，而极限定 义又取决于实数(复数)域上点间距离的定义. 本章着重介绍二阶矩过程的随机分析—均 方意义下的微积分. 一、二阶矩随机变量空间H
为定义关于随机变量的距离以及极限概 念，引进 定义4.2.1称定义在概率空间（①，EP)上 的具有有限二阶矩的随机变量的全体组成的 集合 H=X EX2]<+0o) 为二阶矩随机变量空间. 注 在H中称X与Y相等，若 P{X=Y}=1 (记为X=Y,a.e.) 电子科技大学
电子科技大学 为定义关于随机变量的距离以及极限概 念, 引进 定义4.2.1 称定义在概率空间(Ω,F,P )上 的具有有限二阶矩的随机变量的全体组成的 集合 H={X | E[|X|2]<+∞} 为二阶矩随机变量空间. 注 在H中称X与Y相等,若 P{X Y } 1 (记为X Y，a.e.)
定理42.1H为线性空间，即设X,Y∈H,则 对任意复数，b,有X+bY∈H. 证：由许瓦兹不等式 {EXYI2≤EX21·EY21<O ElaX+bY'] =a2EIX2]+2a-bEIXY1+b2EIY] s aElx2]+2aElX']EIYP] +b2E[Y2]<0 即有X+bY∈H. 电子科技大学
电子科技大学 定理4.2.1 H为线性空间, 即设X, Y∈H, 则 对任意复数 a, b, 有aX+bY∈H. 证: 由许瓦兹不等式 { [ ]} [ ] [ ] 2 2 2 E XY E X E Y [ ] 2 E aX bY [ ] 2 [ ] [ ] 2 2 2 2 a E X a b E XY b E Y [ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 b E Y a E X a b E X E Y 即有 aX+bY∈H
引理4.2.1对X∈H,令 X=[E(x2)2 10Y X,Y∈H,E(XY)≤E(XY)≤X·Y9 2) X∈H,E(X)≤E(X)≤X. 证由许瓦兹不等式证得()，在(1)中取Y=1得 (2) 引理4.2.2如上定义的‖是范数，即有 1)正定性：X∈H, X≥0，且 电子科技大学
电子科技大学 引理4.2.1 对X∈H , 令 2 1 ˆ [ ( )] 2 X E X 1) X,Y H, E(XY ) E( XY ) X Y ; 2) X H, E(X ) E( X ) X . 证 由许瓦兹不等式证得(1),在(1)中取Y=1 得 (2) 引理4.2.2 如上定义的||·||是范数,即有 1) 正定性：X H， X 0，且
X=0台P{X=0}=1; 2) 齐次性：a∈C,X∈H,aX=laX; 3) 三角不等式：X,Y∈H,X+Y≤X+Y 证(1)和(2)显然 (3)X+YW2=E[X+V2] IX[E(X)川月 ≤EX2I+2 EIXYI+-EIY2I ≤x+2X·Y+Y=(X+Y)2 结论H构成一个线性赋范空间. 电子科技大学
电子科技大学 2) 齐次性：a C,X H，aX a X ; 3) 三角不等式：X,Y H，X Y X Y . X 0 P{X 0} 1； 证 (1) 和 (2)显然. (3) ||X+Y||2=E[|X+Y|2] ≤E[|X|2]+2 E[|XY|]+ E[|Y|2] 2 2 2 X 2 X Y Y ( X Y ) 2 1 ˆ [ ( )] 2 X E X 结论 H构成一个线性赋范空间
定理4.2.2对任意XY∈H,令 d(X,Y)X-Y 则X,)是H中的距离.即对任意X,YZ∈H,有 1)非负性d(X,)≥0， X=Y(a.e)<→ dX,Y)=0; 2)对称性dX,Y)=dY,); 3)三角不等式dX,Z)≤dX,)+d(y,Z, 将H构成一个距离空间 电子科技大学
电子科技大学 定理4.2.2 对任意X,Y∈H, 令 d(X,Y ) ˆ X Y 则 d(X,Y)是H 中的距离. 即对任意X,Y,Z∈H, 有 1) 非负性 d(X,Y)≥0， X=Y (a.e) d(X,Y )=0； 3) 三角不等式 d(X, Z) ≤d(X,Y)+d(Y, Z). 2) 对称性 d(X,Y) =d(Y, X) ； 将H构成一个距离空间