电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第1章 预备知识 第5节 特征函数

随机地程及应用 精品课程 第1章第5节特征函数

第1章第5节 特征函数

特征函数 §1.5特征函数 一、特征函数的定义及例 设X,Y是实随机变量，复随机变量 Z=X+jY, 的数学期望定义为 E(Z)=E(X)+jE(Y), j=v-1 特别 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 一、特征函数的定义及例 设X, Y是实随机变量,复随机变量 Z=X + jY, 的数学期望定义为 E(Z)  E(X)  j E(Y ), j  1 特别 §1.5 特征函数

特征函数 E(eix)=E(costX)+jE(sintX) X是实随 机变量 =costxdF(x)+jsintxdF( =e匹d) 求随机变量 X的函数的 数学期望 注 1)Vt∈R,costx和sintx均为有界函数，故 E(ejtx)总存在. 2)E(etx)是实变量t的复值函数. 电子科技大学

特征函数 电子科技大学        costxdF(x)  j sintxdF(x)       e dF( x) itx 注 E(e ) E(costX) jE(sintX) jtX   X是实随 机变量 求随机变量 X的函数的 数学期望

特征函数 定义1.5.1设X是定义在（①，？P)上的随机变 量，称 p(t)=E(ex)=∫emdF(x,t∈R 为X的特征函数. 当X是连续型随机变量 关于X的分布函 数的Fourier- (t)=ef(x)dx; Stieltjes变换 当X是离散型随机变量 p()）=∑eap: 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 定义1.5.1 设X是定义在(Ω,F, P )上的随机变 量,称 ( ) ( ), jtX jtx E e e dF x t R       为X的特征函数. 关于X的分布函 数的Fourier- Stieltjes变换 当X是连续型随机变量    φ(t)  e f (x)dx; jtx φ( )   . k k jtx t e p k 当X是离散型随机变量 φ(t)

特征函数 Ex.1单点分布P{X=c}=1, p(t)=E(ec)=e,t∈R. Ex.2两点分布 p(t)=ei(1-p)+eip =1-p+per=q+pe",t∈R. Ex.3二项分布 p(t)=(q+per)”,t∈R Ex.4泊松分布 p(t)=e2e-),t∈R 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 Ex.1 单点分布 P{X  c}  1, φ(t)  E(e )  e , t  R. jtc jtc Ex.2 两点分布 t e p e p jt 0 jt 1 φ( ) (1 )      1 p pe q pe , t R. jt jt       Ex.3 二项分布 t q pe t R jt n φ( )  (  ) ,  Ex.4 泊松分布 t e t R jt e    φ( ) ,  ( 1)

特征函数 Ex.5指数分布 f- e,x≥0； 0, (2>0) x<0. )=heedx =ae“eostxd+j2 esintxds 元+ip-1-eA =九 电子科技大学

特征函数 电子科技大学     0 φ(t) e e dx jtx x          0 0 e costxdx j e sintxdx x x   t R jt t t j t               1 , 1 2 2 2 2       (λ 0) 0, 0. , 0; ( )         x e x f x x  Ex.5 指数分布

特征函数 Ex.6均匀分布U-4,m, p0）=si血t,teR t Ex.7正态分布N(山，O2) 9)n t∈R 特别正态分布N(0,1),则 -2 o(t)=e 2 teR 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 Ex.6 均匀分布 U[a, a], t R at at t  ,  sin φ( ) Ex.7 正态分布N(m,s2) σ 1 2 2 2 φ( ) , j t t t e t R m    特别正态分布N(0,1)，则 t t R t e    , 2 2 1 φ( )

特征函数 _(x-四2 证明 1 f(0=2 22 x ER (x-4)2 p0=2ae 202 d 5e。 x- 儿= du 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 2 ( ) 2 2 1 ( ) 2 j tx x t e e dx m s  s       x u m s   2 ( ) 2 1 2 u jt u e e du m s       2 1 2 2 ( ) 2 2 1 2 u jt j t t e e du s m s         证明 σ πσ 2 2 ( ) 2 1 ( ) , 2 x f x e x R m     1 2 2 2 , j t t e t R m  s  

特征函数 二、特征函数性质 性质1.5.1随机变量X的特征函数满足： 1)p(t)≤φ(0)=1； 2)φ(t)=φ(-t). 1)o(t)=E(costx)+jE(sintx) =[E(cos tX)+[E(sin tX)]2 司蒂阶积 分性质或 E[(costx)2]+E[(sintX)2] 矩的性质 E[(costx)2+(sintX)2]=1=(0) 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 二、特征函数性质 性质1.5.1 随机变量X的特征函数满足： 1) φ(t)  φ(0)  1; 2) φ(t) φ(t). 2 2 证 1) φ(t)  E(costX)  jE(sin tX) 2 2  [E(costX)]  [E(sin tX)] 2 2  E[(costX) ] E[(sin tX) ]  [(cos )  (sin ) ]  1  2 2 E tX tX 司蒂阶积 分性质或 矩的性质 φ(0)

特征函数 2)(t)=E(eix)=E(costX)+jE(sintX) =E(cos tX)-jE(sintX) =Elcos(-tx)]+j [sin(-tx)] =Ee-)x]=p(-t) 性质1.5.2随机变量X的特征函数为px(t),则 Y=X+b的特征函数是 py(t)=e"px(at) ,b是常数. 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 2) φ( ) ( ) jtX t  E e  E(costX)  jE(sin tX)  E(costX)  jE(sin tX)  E[cos(tX)] jE[sin(tX)]    [ ] j( t)X E e 性质1.5.2 随机变量X的特征函数为 则 Y= aX+b的特征函数是 φ (t), X φ (t) e φ (at) X jbt Y  a, b是常数. φ(t)