§3.4泊松过程（二） 三、更新计数过程 定义3.4.1设{N),20}是一个计数过程， 如果它的时间间隔序列T,T,Tm,.相互独 立同分布，称为更新计数过程， 例同类型设备的更新，如 一个元件；一个灯泡；一个系统… 技大学
电子科技大学 §3.4 泊 松 过 程(二) 三、更新计数过程 定义3.4.1 设{N(t), t≥0}是一个计数过程， 如果它的时间间隔序列T1 ,T2 ,…,Tn , …相互独 立同分布，称为更新计数过程. 例 同类型设备的更新，如 一个元件； 一个灯泡； 一个系统…
假定每个更换对象的寿命具有相同的概率密度， 则相继两次损坏之间的更新时间T,T,.相互独 立同分布. 定理3.4.1更新计数过程{N(t),仑0}是泊松过 程的充要条件是时间间隔T具有指数分布。 注 等价于时间间隔序列T,T),Tm…相互独立 同服从相同指数分布 证 由定理3.3.2知必要性，仅需证充分性，应有
电子科技大学 假定每个更换对象的寿命具有相同的概率密度， 则相继两次损坏之间的更新时间T1 ,T2 ,…相互独 立同分布. 定理3.4.1 更新计数过程{N(t ),t≥0}是泊松过 程的充要条件是时间间隔T具有指数分布. 等价于时间间隔序列T1 ,T2 ,…,Tn ,…相互独立 同服从相同指数分布. 注 证 由定理3.3.2 知必要性,仅需证充分性, 应有
P(N(t)=k= 2e, (k=0,1,2,…,2>0) : T的特征函数为 指数分布 Px(0)=p(0= iu 特征函数 1一 k 等待时间 Wk=∑T, i=1 且T1,T2,…,T相互独立，故 也技大学
电子科技大学 , ( 0,1,2, , 0) ! ( ) { ( ) } e k k t P N t k t k 1 ( ) ( ) , 1 Ti u T u iu Ti的特征函数为 指数分布 特征函数 , 1 k i 等待时间 Wk Ti 且T1 ,T2 ,,Tk相互独立，故
,四=p,= (k=1,2,）》 由特征函数的反演公式及唯一性定理知，W 的密度函数为 (2te, t>0; f()=(k-1月 0, t≤0. 分布猫家有天0小-是四 t>0 i=0 0, t≤0. 科技大
电子科技大学 , 1,2, [1 ] 1 ( ) [ ( )] k iu u u k k Wk T 由特征函数的反演公式及唯一性定理知,Wk 的密度函数为 0, 0. , 0; ( 1)! ( ) ( ) 1 t t e t f t k k t k wk 分布函数为 0, 0. , 0 ! ( ) 1 ( ) 1 0 t e t i t F t k i t i wk
因 {Wk≤t}={N(t)≥k} 故 P{N(t)=k=P{N(t)≥k-P{N(t≥k+1 =Fw()-Fw+,() () e (k=0,1,2,…,2>0) k! N(),20}的概率分布为泊松分布，即N(t)~P(2) 店技大学
电子科技大学 {W t} {N(t) k} 因 k 故 P{N(t) k} P{N(t) k} P{N(t) k 1} ( ) ( ) 1 F t F t wk wk , ( 0,1,2, , 0) ! ( ) e k k t t k {N(t), t≥0}的概率分布为泊松分布,即N(t)～P(t)
一般地，设{N(t),20}为更新计数过程，有： k )等待时间Wk=∑T:的特征函数为， 运1 W:(u)=l (u 2)因{Wk≤t}={N(t)≥k},有 Fwn (t)=1-FN((k). 3)m(O=E[N(t]=>kPN()= k) k=0 电技大学
电子科技大学 一般地，设{N( t ),t≥0}为更新计数过程,有： k W u u k T ( ) [ ( )] ( ) 1 ( ). ( ) 1 F t F k W N t k
=∑E,(0-F(=∑F,d) k=0 k=1 思考题 如何模拟一个参数为2的Poisson.过程 {N(t),20}? 提示 1.结合定理3.4.1，并查找相关资料 2.给出算法步骤，并说明算法原理. 也技大学
电子科技大学 思 考 题 如何模拟一个参数为λ的Poisson过程 {N( t ),t≥0}？ 1. 结合定理3.4.1，并查找相关资料. 2. 给出算法步骤，并说明算法原理. 提示 0 1 [ ( ) ( )] ( ) 1 k W k k FW t FW t F t k k k
四、复合泊松过程 EX.5调查城市人员流动情况，可在关键路 口观察公交车的载客情况，设0，)内通过的 公交车数N(t)是一个poisson过程，而每辆车 的载客人数为乞，则经公交车通过此路口的 人数为： N(t) X()=∑5n n=1 世技大学
电子科技大学 EX. 5 调查城市人员流动情况,可在关键路 口观察公交车的载客情况，设[0, t)内通过的 公交车数N(t)是一个poisson过程，而每辆车 的载客人数为ξn，则经公交车通过此路口的 人数为： ( ) 1 ( ) N t n n X t 四、复合泊松过程
EX.6若将股票交易次数N(t)看作一个Poisson 过程，5n表示第n次与第n一1次易手前后股票价 格差，则X(t)就代表直到t时刻股票的价格变化. 定义3.4.2设{Nt,仑0}是强度为2的齐次 Poisson过程，{5m,n21}是相互独立同分布的随 机变量序列，并与N()相互独立，称 N(t) X(t)=∑5n n=] 为复合Poisson过程
电子科技大学 EX.6 若将股票交易次数N(t)看作一个Poisson 过程,ξn表示第n 次与第n－1次易手前后股票价 格差,则X( t ) 就代表直到t 时刻股票的价格变化. 定义3.4.2 设{N(t), t≥0}是强度为λ的齐次 Poisson过程, {ξn , n≥1}是相互独立同分布的随 机变量序列，并与N(t)相互独立,称 为复合Poisson过程.. ( ) 1 ( ) N t n n X t
定理3.4.2设{X(t),仑0}是复合泊松过程 N(t) 证明见 Xt)=∑5n. t≥0 P65 n=1 其中N(t),仑0是强度为的泊松过程， wn=1,2,..相互独立与同分布，有 1){X(t),0}是独立增量过程。 2)的特征函数为中：()，则X(t)的特征函数为 x(t,u)=e ()-1 t≥0. 电技大学
电子科技大学 定理3.4.2 设{X( t ),t≥0 }是复合泊松过程 ( ) 0 ( ) 1 , X t t N t n n [ ( ) 1] ( , ) , 0. t u X t u e t 证明见 P65 1） {X( t ),t≥0 }是独立增量过程