电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第1章 预备知识 第4节 随机变量的数字特征

随机地程及应用 精品课程 第1章第4节随机变量的数字特征

第1章第4节 随机变量的数字特征

随机变量的数字特征 一、R-S(黎曼-斯蒂阶)积分简介 定义1.4.1设x),g(c)为定义在[4，b上的实值 函数，做一剖分：M=X0<X1<…<Xm=b,并任取 点x∈[xk,xk+k=0,1,2,…,n-1. Xk Xk Xk+1 十 电子科技大学

随机变量的数字特征 电子科技大学 一、R-S(黎曼-斯蒂阶)积分简介 定义1.4.1 设f(x), g(x)为定义在[a, b]上的实值 函数，做一剖分:a =x0< x1<…< xn =b,并任取 点 [ , ], 0,1,2, , 1.  1    xk xk xk k  n xk [ xk＋1 ]  k x

随机变量的数字特征 做和式 G=∑f(x)Ig(xk+1)-g(xx)月 k=0 若存在实数I,使对Vε>0，δ>帜要 入=maX(xk+1-Xx)0 电子科技大学

随机变量的数字特征 电子科技大学       1 0 1 * ( )[ ( ) g( )] n k xk g xk xk σ f 做和式 若存在实数I,使对  ε  0 ,  δ  ,0只要 λ max ( 1 ) δ 0 1        k k k n x x σ  I  ε 对任意分点及任意 的取法均有  xk    b a R f x dg x σ λ 0 记为 ( ) ( ) ( ) lim

随机变量的数字特征 1im∑f(x儿g(ci)-g(xx1=1 -→0 k=0 称I为fx)关于gx)在[4，b]上的R-S积分，简记为 I=白f(x)dg(x). 若±gf(x)dg(x)会Iim∫f(x)dg(x) b→+00 存在，称为广义R-S积分. 注黎曼积分∫f(x)dx是R-S积分的特例. 电子科技大学

随机变量的数字特征 电子科技大学 1 * 1 λ 0 0 lim ( )[ ( ) ( )] I n k k k k f x g x g x         称I为f(x)关于g(x)在[a, b]上的R-S积分,简记为  b a I f (x)dg(x).        b a b a 若 f (x)dg(x) ˆ lim f (x)dg(x) 存在,称为广义R-S积分. 注

随机变量的数字特征 R-S积分性质： )∫Lf(x)±(x)g(x)= hfi(x)dg(x)±白f2(x)dg(x) 2)∫6f(x)g1(x)±g2(x1= f()dg((d() 3)设a,B是任意常数，则 [af(x)dIBg(x)l=aB["f(x)dlg(x). 电子科技大学

随机变量的数字特征 电子科技大学 R-S积分性质:    b a 1) [ f (x) f (x)]dg(x) 1 2    b a b a f (x)dg(x) f (x)dg(x) 1 2    b a 2) f (x)d[g (x) g (x)] 1 2 3) 设α, β是任意常数，则    b a b a f (x)dg (x) f (x)dg (x). 1 2 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )].    b a b a f x d g x  f x d g x

随机变量的数字特征 以上三个等式成立的意义是：当等号右边存 在时，左边也存在并相等. 4)若a<c<b,则有 [f(x)dg(x) ()d(x)+(dg(x) 5) f(x)dg(x)=Lf(x)g(x)g(x)df(x) 注 以上1~5条性质可全部推广到广义R-S积分. 如 电子科技大学

随机变量的数字特征 电子科技大学 4) 若a < c <b, 则有 以上三个等式成立的意义是: 当等号右边存 在时, 左边也存在并相等.  b a f (x)dg(x)     b c c a f (x)dg(x) f (x)dg(x)     b a b a b a 5) f (x)dg(x) [ f (x)g(x)] g(x)df (x) 以上1～5条性质可全部推广到广义R-S积分. 如 注

随机变量的数字特征 5)f(x)dg(x) ●● =-∫g(x)df(x)+lim(x)g(x)l次 L→一00 b→十00 定理1.4.1（广义R-S积分定理)若fx)在R上 连续且有界，gx)在R上单调有界，则积分 ∫±gf(x)dg(x) 存在，并且 电子科技大学

随机变量的数字特征 电子科技大学    5) f (x)dg(x) b a b a lim [ f (x)g(x)]         g(x)df (x) 定理1.4.1（广义R-S积分定理） 若f(x)在R上 连续且有界, g(x)在R上单调有界, 则积分   f (x)dg(x) 存在，并且

随机变量的数字特征 1)若g'(x)在R上存在，在任意有限区间[a,b] 上黎曼可积，则 f(x)dg(x)=f(x)g(x)dx 2)若存在实数列C,k=0,士1，…，使 <C.1<C0<C1<.… 且gx)在[Ck,Ck+1)上取常数，则 f(x)dg(x)=∑f(C[g(C6+0)-g(C.-0)] k=-00 电子科技大学

随机变量的数字特征 电子科技大学         f (x)dg(x) f (x)g (x)dx ( ) ( ) ( ) ( 0) ( 0).           k k k Ck f x dg x f C g C g 且 g(x) 在[Ck , Ck+1) 上取常数，则

随机变量的数字特征 问题1若Fx)是离散型随机变量的分布函数， x)关于Fx)的广义R-S积分形式？ 设X是离散型随机变量，其分布律为 P{X=xk}=Pk,k=1,2,3.… 其分布函数是有界、单调不降的阶梯函数，有 <Xk-1<Xk<Xk+1<… 0, F(x+0)-Fx-0={pE, X丰Xk; x=Xh 电子科技大学

随机变量的数字特征 电子科技大学 问题1 若F(x)是离散型随机变量的分布函数， f(x)关于F(x) 的广义R-S积分形式？ 设X 是离散型随机变量,其分布律为 P{X  x }  p , k  1,2,3.... k k 其分布函数是有界、单调不降的阶梯函数，有           k k k p x x x x F x F x , 0, ; ( 0) ( 0)  xk1  xk  xk1  

随机变量的数字特征 f(x)dF(x)=fF+)-F(x-0)] k=-00 =∑fx)P: K=-00 特别当f(心)=x时，有 xdF(x)=∑xpg k=-00 为离散型随机变量X的数学期望， 电子科技大学

随机变量的数字特征 电子科技大学 ( ) ( ) ( ) ( 0) ( 0).           k k k k f x dF x f x F x F x     k k k f (x ) p 特别当 f (x)=x 时，有        k k k xdF(x) x p