电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第2章 随机过程的基本概念 第3节 随机过程的数字特征

随机过程的数字特征 §2.3随机过程的数字特征 在实际应用中，很难确定出随机过程的有限 维分布函数族，过程的数字特征能反映其局部 统计性质. 需确定各类数字特征随时间的变化规律。 一、均值函数、方差函数及相关函数 定义2.3.1给定随机过程Xr={X(t),t∈T},你 m(t)≌EX(t川=xdF(t;x), t∈T 为过程X的均值函数. 电子科技大学

电子科技大学 随机过程的数字特征 §2.3 随机过程的数字特征 在实际应用中,很难确定出随机过程的有限 维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部 统计性质. 一、均值函数、方差函数及相关函数    m(t)  ˆ E[X(t)]  xdF(t; x), t T 为过程XT的均值函数. 需确定各类数字特征随时间的变化规律

定义2.3.2给定随机过程Xr={X(t),t∈T),称 D(t)=D[x(t)]=E[x(t)-m(t) 为过程X,的方差函数 称√D(t)为过程X的均方差函数. 为描述不同时刻过程状态的关联关系 定义2.3.3给定随机过程Xr={X(t),t∈T),你 C(s,t)Cov(X(s),X(t)=EX(s)-m(s)l[X(t)-m(t) 为过程X的协方差函数， 电子科技大学

电子科技大学     2 D(t)  ˆ D X(t)  E X(t)  m(t) 为过程XT的方差函数. 为描述不同时刻过程状态的关联关系. C(s,t)  ˆ CovX(s), X(t)  E[X(s)  m(s)][X(t)  m(t)] 为过程XT的协方差函数

C(s,t)=E(X(t)X(s))-m(s)m(t) D(t)=C(t,t)=E[X(t)-m(t 定义2.3.4给定随机过程Xr={X(t),t∈T,称 R(S,t)≌E[X(S)X(t)】 重点研 为过程X,的自相关函数 究内容 有( C(s,t)=R(s,t)-m(s)m(t) 特别当m(t)三0时 X是零均值过程 C(s,t)=R(s,t) 电子科技大学

电子科技大学 2 D(t)  C(t,t)  E[X(t)  m(t)] 有 C(s,t)  E(X(t)X(s))  m(s)m(t) R(s,t)  ˆ E[X(s)X(t)] 为过程XT的自相关函数. 有 C(s, t)  R(s, t)  m(s)m(t) 重点研 究内容 XT是零均值过程 C(s,t)  R(s,t)

称 C(s,t) p(s,t)≌ o(s)o(t) 为过程X的自相关系数函数， Ex.1设p,4是两个随机变量，构成随机过程 X(t)=p+qt, t∈T=R 均值函数为 m(t)=E[X(t)=E(p)+E(q)t, 自相关函数为 见P17例1. 电子科技大学

电子科技大学 称 为过程XT的自相关系数函数. Ex.1 设p, q是两个随机变量, 构成随机过程 X(t)  p  qt, t T  R 均值函数为 m(t)  E[X(t)]  E( p)  E(q)t, 自相关函数为 见P17例1. σ( )σ( ) ( , ) ( , ) ˆ s t C s t  s t 

R(s,t)=E(p+qs)(p+qt) Elp2]+Elpgl(s+t)+Elg2lst, (S,t)∈R2 Ex2利用抛硬币的试验定义一个随机过程 cos元t, 出现正面0=O t∈R. 出现反面Q=02· 求该过程的均值函数，方差函数，相关函数，协方 差函数 解 因对任意实数t∈R,有 电子科技大学

电子科技大学 R(s,t)  E{( p  qs)( p  qt)} 2 2 2  E[ p ] E[ pq](s  t)  E[q ]st, (s, t) R . Ex.2 利用抛硬币的试验定义一个随机过程 . 2 . cos , ( ) 2 1 t R t t X t             出现反面 出现正面 ； 求该过程的均值函数,方差函数,相关函数,协方 差函数. 解 因对任意实数t∈R,有

X(t) coSπt 2t 1/2 1/2 mx (t)=E(X(t))=cosnt+t; 2 E(X2()=cos2πt+21; 2 D,④=x--Imx(F=-(ost-: 注意X(S与X()不相互独立，联合分布律为 电子科技大学

电子科技大学 X(t) cost 2t p 1/2 1/2 cos ; 2 1 mX (t)  E(X(t))  t  t cos 2 ; 2 1 ( ( )) 2 2 2 E X t  t  t 2 2 1 2 ( ) [ ( )] [m ( )] ( cos ) ; 2 DX X t  E X t  t  t  t 注意X(s)与X(t)不相互独立, 联合分布律为

(X(),X(S) (cosat,cosas) (2t,2s) 1/2 1/2 Rx(s,t)=EX(s)X(t 1 一 C0Sdc0S瓜+-×2t×2s 2 2 1 三 C0S元tc0S元S+2ts. 2 Ex.3设随机过程 X(t)=Acos(Bt+⊙) 电子科技大学

电子科技大学 (X(t),X(s)) (cost, coss) (2t, 2s) p 1/2 1/2 t s t s R s t E X s X t X 2 2 2 1 cos cos 2 1 ( , ) [ ( ) ( )]        cos cos 2 . 2 1  t s  ts Ex.3 设随机过程 X(t)  Acos(t  )

其中B是正常数，随机变量A与⊙相互独立， A~N(0,1),⊙~U(0,2π).试求过程的均值函 数和相关函数， 解 mx(t)=E(X(t)=E[Acos(Bt+⊙)小 =E(A)E[os(ft+⊙)]=0； Rx(s,t)=EX(s)X(t =EAc0s(Bt+⊙)c0s(Bs+⊙)川 电子科技大学

电子科技大学 其中β是正常数, 随机变量A 与Θ相互独立, A～N(0,1), Θ～U(0, 2 π).试求过程的均值函 数和相关函数. 解 m (t)  E(X(t))  E[Acos(βt  )] X  E(A)E[cos(βt  )]  0; [ cos( )cos( )] ( , ) [ ( ) ( )] 2       E A t s R s t E X s X t X  

随机过程的数字特征 =E(A)Ecos(t+⊙)Cos(Bs+®)川 2价+0csu+0ni0 4玩"losP(-s)平cos(B(t+s+20dw 2π 2c 0sf(t-S随机变量函数的 数学期望公式 电子科技大学

电子科技大学 随机过程的数字特征     2π 0 cos( θ)cos( θ)d 2π 1 βt βs θ       2π 0 [cos ( ) cos( ( ) 2 ) 4π 1 β t s β t s θ dθ cos ( ). 2 1  β t  s 随机变量函数的 数学期望公式 ( ) [cos( )cos( )] 2  E A E βt  βs 

随机过程的数字特征 思芳题： 为什么说随机过程的均值函数和自 相关函数在研究过程的概率与统计特性 尤其重要？ 电子科技大学

电子科技大学 随机过程的数字特征 思考题： 为什么说随机过程的均值函数和自 相关函数在研究过程的概率与统计特性 尤其重要?