电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第4章 二阶矩过程的均方微积分 第5节 随机过程的均方积分

§4.5随机过程的均方积分（一) 本节主要介绍黎曼意义下的均方积分概念 一、均方积分概念 定义4.5.1设{X(t),t∈[4，b}是二阶矩过程， ),t∈[4，b]是普通函数，任意取分，点=t< t1<tm=b,将区间[4，b分成n个小区间，做和 电子科技大学

电子科技大学 §4.5 随机过程的均方积分（一） 本节主要介绍黎曼意义下的均方积分概念 一、均方积分概念 定义4.5.1 设{X(t), t∈[a,b]}是二阶矩过程, f(t), t∈[a,b]是普通函数,任意取分点a=t0< t1 …< tn =b ,将区间[a, b]分成 n 个小区间, 做和

∑f床)X床)k-tk-1）=∑ft床)Xt)△k k=1 k=1 其中tk∈[tk-1,tk,k=1,2,…n. 记 △=max(tk-tk-1) 1≤k≤n 若均方极限 1im∑ft)X(G)△re △→0 k=1 存在，且与区间[山，b]的分法及的取法无关， 称为二阶矩过程t)X()在[，b]上的黎曼均方 积分，记为 电子科技大学

电子科技大学         n k n k k k k k k k k f t X t t t f t X t t 1 1 * * 1 * * ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ , ], 1,2, . 1 * 其中tk  tk tk k  n max( ) 1 1      k  k k n 记 t t 若均方极限     n k k k k f t X t t 1 * * 0 l.i.m ( ) ( ) 存在, 且与区间[a, b]的分法及t*的取法无关, 称为二阶矩过程f(t)X(t)在[a, b]上的黎曼均方 积分,记为

f(t)x(t)dt 特别当ft)=1,t∈[，b]则 的X()dt=lim∑X(G:-4-) △→0 k=1 称为随机过程{X),t∈[4，b}在[4，b]上的均方 积分 定义4.5.2设{X(t),t∈[4，b}是二阶矩过程， f),t∈[4，b]是普通函数，任意取分点=t< t1<tn=b,将区间[4，b]分成n个小区间，若均 方极限 电子科技大学

电子科技大学 b a f (t)X(t)dt 特别当f(t)≡1, t∈[a, b] 则 b a X(t)dt       n k k k k X t t t 1 1 * 0 l.i.m ( )( ) 称为随机过程{X(t),t∈[a, b]}在[a, b]上的均方 积分. 定义4.5.2 设{X(t), t∈[a,b]}是二阶矩过程, f(t), t∈[a, b]是普通函数,任意取分点a=t0< t1 …< tn =b ,将区间[a, b]分成 n 个小区间, 若均 方极限

L.im∑f()1X(t)-X(ts-月 △→0 k=1 存在，且与区间[4，b]的分法及t的取法无关， 称为二阶矩过程t)对X(t)在[4，b]上的黎曼一 斯蒂阶均方积分，记为 ∫foX 电子科技大学

电子科技大学 l.i.m ( )[ ( ) ( )] 1 1 * 0     n k k k k f t X t X t ( ) ( ) b a f t dX t  存在, 且与区间[a, b]的分法及t*的取法无关, 称为二阶矩过程f(t)对X(t)在[a, b]上的黎曼— 斯蒂阶均方积分,记为

定义4.5.3设{X(t),t∈[4，b}是二阶矩过程， W)是维纳过程，任意取分点=t<t1<tn=b, 将区间[，b]分成n个小区间，若均方极限 Li.m 4→0 ∑X(t-1)川W()-W(在-1川 k=1 存在，且与区间山，b]的分法无关.则称此均方为 X()关于维纳过程的伊藤积分.记为 ∫X)aW0 电子科技大学

电子科技大学 l.i.m ( )[ ( ) ( )] 1 1 1 0      n k k k k X t W t W t  存在, 且与区间[a, b]的分法无关. 则称此均方为 X(t)关于维纳过程的伊藤积分. 记为 ( ) ( ) b a X t dW t  定义4.5.3 设{X(t), t∈[a,b]}是二阶矩过程, W(t)是维纳过程, 任意取分点a=t0< t1 …< tn =b , 将区间[a, b]分成 n 个小区间, 若均方极限

二、均方积分准则 定理4.5.1 设{X(t),t∈[4，b}是二阶矩过程， t)是普通函数，ft)X(t)在[4，b]上均方可积 的充分必要条件是二重积分 ∫∫fs)fm)Rs,)kd 存在，其中R(S,)是X(t)的自相关函数. 电子科技大学

电子科技大学 二、均方积分准则 设{X(t),t∈[a, b]}是二阶矩过程, f(t)是普通函数, f(t)X(t)在[a, b]上均方可积 的充分必要条件是二重积分 定理4.5.1   b a b a f (s) f (t)R(s,t)dsdt 存在, 其中R(s,t)是X(t)的自相关函数

证充分性若f(s)f(t)R(s,t)的二重积分存在， 对[4，b]X[4,]的任意分割 =t<41<t,=b,=S0<S1<Sm=b及任意 (Sk,t分)∈(k-1,5k]×(j-1,tjl(k=1,2,…,m,j=1,2,…,m） 有 ∫f(s)foR(s,)dsdt m =lIim∑∑f(sA)f()R(s,t)△sx△t A→0 △ty0k=1j=1 电子科技大学

电子科技大学 证 充分性若f (s) f (t)R(s,t) 的二重积分存在, 对[a, b]×[a, b]的任意分割 a=t0< t1 …< tn =b, a=s0< s1 …< sm =b及任意 ( , ) ( , ] ( , ], ( 1,2, , , 1,2, , ) 1 1 * * sk t j  sk sk  t j t j k   m j   n   b a b a 有 f (s) f (t)R(s,t)dsdt           m k n j k j k j k j t s f s f t R s t s t 1 1 * * * * 0 0 lim ( ) ( ) ( , )

存在，其中 △S= max△Sk,ASk=Sk一Sk-】 1≤k≤m △t=max△tj,△4Ft-4-1) l≤j≤n 上式= im∑∑ELfs)X(s)f(t)X(t)IAs△t; △s-→0 △t-→0 k=1j=1 m n = lim △5-→0 ∑∑EIfS)X(s)AfG)X()△，l △t-0k=1j=1 电子科技大学

电子科技大学 存在,其中 Δsk =sk－sk－1 max , 1 k k m s  S   max , 1 j j n t  t   Δt j =t j－t j－1 ,           m k n j k k j j k j t s E f s X s f t X t s t 1 1 * * * * 0 0 上式 lim [ ( ) ( ) ( ) ( )]           m k n j k k k j j j t s E f s X s s f t X t t 1 1 * * * * 0 0 lim [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]

imE∑fs)X(s)△∑fE)X()△t,l = △s→0 △t-→0 k=1 由均方收敛准则知 1i.m∑f()X(t)At& △-→0 k=1 存在，即t)X(t)在[4，b上均方可积. 必要性 由洛易夫判别准则，若均方积分 f(t)X(t)dt 存在，则下列极限存在，且 电子科技大学

电子科技大学 lim [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 1 * * 1 * * 0 0            n j j j j m k k k k t s E f s X s s f t X t t 由均方收敛准则知    n k k k k f t X t t 1 * * 0 l.i.m ( ) ( ) 存在，即f( t )X( t )在[a, b]上均方可积. 必要性 由洛易夫判别准则, 若均方积分 b a f (t)X(t)dt 存在, 则下列极限存在, 且

imE∑fs)Xs)△s:∑fG)X)△t】 △s-→0 △t→0 k=1 =E到心fs)X(s)s心f)X(0d 仁ag7oo =心fsf0EX(s)xkd =∫fs)fors,t)sM 电子科技大学

电子科技大学 lim [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 1 * * 1 * * 0 0           n j j j j m k k k k t s E f s X s s f t X t t [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]    b a b a E f s X s ds f t X t dt    b a b a f (s) f (t)E[X(s)X(t)]dsdt    b a b a f (s) f (t)R(s,t)dsdt ( [ ( ) ( ) ]) 2   b a E f t X t dt