第一章：绪论 理解偏微分方程的基本概念与典型实例、偏微分方程的发展历史、偏微分方 程的研究内容和研究方法、二阶半线性方程的分类与标准型，掌握适定性的含义、 经典解与弱解的定义。 1.1基本概念，国内外偏微分方程的发展历史 1.2偏微分方程的研究内容和研究方法 1.3二阶半线性方程的分类与标准型 教学重点：偏微分方程的研究内容和方法：适定性的含义 教学难点：偏微分方程的研究内容和方法：二阶半线性方程的分类与标准型 课程思政：微积分对弦振动等力学问题的应用最终发展出一门新的数学分支 一一偏微分方程，在偏微分方程近三百年的发展史上，欧拉、达朗贝尔、阿达玛、 谷超豪、李大潜等中外数学家都做出了巨大的贡献：阿达玛与中国的数学交往。 第二章：位势方程 理解位势方程的背景、Poisson方程Dirichlet问题的显式解法、能量法，掌 握调和函数的平均值性质、最大最小值原理及其应用、Green函数和调和函数的 性质。 2.1基本解 2.2平均值等式 2.3最大值最小值原理及其应用 2.4 Green函数 2.5调和函数的性质（研讨课） 2.6能量法（研讨课） 教学重点：Laplace方程的基本解；调和函数的平均值等式；最大值最小值 原理及其应用；Green函数和Poisson公式的计算：调和函数的性质 教学难点：Poisson公式的计算；调和函数的性质 课程思政：介绍推动位势方程发展的传奇数学家一自学成才的乔治·格林 与格林函数法，弘扬自强不息、矢志不渝的科学研究精神；Laplace算子的旋转 不变性在图像处理中的应用：调和函数是一个美妙的函数，它定义在空间上，它
第一章：绪论 理解偏微分方程的基本概念与典型实例、偏微分方程的发展历史、偏微分方 程的研究内容和研究方法、二阶半线性方程的分类与标准型，掌握适定性的含义、 经典解与弱解的定义。 1.1 基本概念，国内外偏微分方程的发展历史 1.2 偏微分方程的研究内容和研究方法 1.3 二阶半线性方程的分类与标准型 教学重点：偏微分方程的研究内容和方法；适定性的含义 教学难点：偏微分方程的研究内容和方法；二阶半线性方程的分类与标准型 课程思政：微积分对弦振动等力学问题的应用最终发展出一门新的数学分支 ——偏微分方程，在偏微分方程近三百年的发展史上，欧拉、达朗贝尔、阿达玛、 谷超豪、李大潜等中外数学家都做出了巨大的贡献；阿达玛与中国的数学交往。 第二章：位势方程 理解位势方程的背景、Poisson 方程 Dirichlet 问题的显式解法、能量法，掌 握调和函数的平均值性质、最大最小值原理及其应用、Green 函数和调和函数的 性质。 2.1 基本解 2.2 平均值等式 2.3 最大值最小值原理及其应用 2.4 Green 函数 2.5 调和函数的性质（研讨课） 2.6 能量法（研讨课） 教学重点：Laplace 方程的基本解；调和函数的平均值等式；最大值最小值 原理及其应用；Green 函数和 Poisson 公式的计算；调和函数的性质 教学难点：Poisson 公式的计算；调和函数的性质 课程思政：介绍推动位势方程发展的传奇数学家——自学成才的乔治格林 与格林函数法，弘扬自强不息、矢志不渝的科学研究精神；Laplace 算子的旋转 不变性在图像处理中的应用；调和函数是一个美妙的函数，它定义在空间上，它
具有旋转不变性，并且在每个点上的值恰好等于它在环绕这点上球的平均值。著 名数学家丘成桐认为调和函数的这个性质有着“中道”的性质，这与希腊哲学中所 追求的中道和儒家的中庸有着共同的意思。 第三章：热传导方程 理解热传导方程的背景、热传导方程初值问题解的Poisson公式和能量法， 掌握热传导方程的基本解、Fourier积分变换及其性质、热传导方程解的平均值等 式、最大值原理及其应用、解的性质。 3.1基本解 3.2初值问题 3.3平均值等式 3.4最大值原理及其应用 3.5热传导方程解的性质（研讨课） 3.6能量法 教学重点：Fourier积分变换的性质；最大值原理及其应用 教学难点：平均值等式：热传导方程解的性质 课程思政：介绍一生痴迷热学的法国数学家傅里叶的事迹以及他对热传导方 程的贡献。傅里叶对数学的认识：数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解 释：想要探明最丰富的知识源泉，就需要对大自然进行深刻地研究：像傅里叶这 样的思想家应该明白，科学唯一的终点是成为“人文精神之光”，从这点来看， 数学问题与世界体系问题应具有同等价值。一一雅可比《致阿德里安一一马里· 勒让德》： 第四章：波动方程 理解波动方程的背景、能量法，掌握一维波动方程的达朗贝尔公式、高维波 动方程的球面平均法、Duhamel原理。 4.1一维波动方程的历史背景和初值问题 4.2高维波动方程的初值问题和实际应用 4.3能量法（研讨课）
具有旋转不变性，并且在每个点上的值恰好等于它在环绕这点上球的平均值。著 名数学家丘成桐认为调和函数的这个性质有着“中道”的性质，这与希腊哲学中所 追求的中道和儒家的中庸有着共同的意思。 第三章：热传导方程 理解热传导方程的背景、热传导方程初值问题解的 Poisson 公式和能量法， 掌握热传导方程的基本解、Fourier 积分变换及其性质、热传导方程解的平均值等 式、最大值原理及其应用、解的性质。 3.1 基本解 3.2 初值问题 3.3 平均值等式 3.4 最大值原理及其应用 3.5 热传导方程解的性质（研讨课） 3.6 能量法 教学重点：Fourier 积分变换的性质；最大值原理及其应用 教学难点：平均值等式；热传导方程解的性质 课程思政：介绍一生痴迷热学的法国数学家傅里叶的事迹以及他对热传导方 程的贡献。傅里叶对数学的认识：数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解 释；想要探明最丰富的知识源泉，就需要对大自然进行深刻地研究；像傅里叶这 样的思想家应该明白，科学唯一的终点是成为“人文精神之光”，从这点来看， 数学问题与世界体系问题应具有同等价值。——雅可比《致阿德里安——马里 勒让德》； 第四章：波动方程 理解波动方程的背景、能量法，掌握一维波动方程的达朗贝尔公式、高维波 动方程的球面平均法、Duhamel 原理。 4.1 一维波动方程的历史背景和初值问题 4.2 高维波动方程的初值问题和实际应用 4.3 能量法（研讨课）
教学重点：一维波动方程的达朗贝尔公式：高维波动方程的球面平均法： Duhamel原理 教学难点：球面平均法：Duhamel原理 课程思政：从2500年前古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯开创的音 乐审美，到千百年来，潜心研究过音乐和数学的关系的开普勒、伽利略、欧拉、 傅里叶、哈代、泰勒等，再到1746年达朗贝尔对以小提琴弦为代表的弦振动问 题重新研究，从常微分方程发展为弦振动方程，对微积分的思想的依赖和对弦振 动的研究开创了偏微分方程这门学科。蕴藏在音乐中的和谐原理是科学的一种表 达形式，音乐与科学都是人类文明的载体。 第五章：二阶椭圆型方程的弱解理论 了解椭圆型方程定义弱解的基本思想，掌握弱解的定义、存在性、弱解的正 则性、弱最大值原理和强最大值原理、特征值与特征函数。 5.1弱解的存在性 5.2弱解的正则性 5.3弱解的有界性 教学重点：椭圆型方程弱解的存在性、正则性的证明；最大值原理：特征函 数 教学难点：能量估计：辅助函数构造技巧的掌握 课程思政：随着生产实践和科学技术的繁荣发展，在物理学、力学及工程技 术中继续提出大量数学物理与偏微分方程的新问题。在大型工程、尖端技术及理 论中都需要对这些偏微分方程与方程组作深入的研究，另一方面，随着数学学科 的不断进步，新的数学理论和方法不断涌现，以至采用非常新颖的高深数学理论 去研究偏微分方程，为偏微分方程的研究打开了新局面。计算技术与计算方法的 发展，高性能超级计算机的出现也对偏微分方程研究产生重要的作用。 第六章：线性发展方程的弱解理论 了解发展方程定义弱解的基本思想，掌握二阶抛物型方程弱解的定义、存在 性、正则性，掌握二阶双曲型方程和方程组弱解的定义、存在性、正则性、唯一
教学重点：一维波动方程的达朗贝尔公式；高维波动方程的球面平均法； Duhamel 原理 教学难点：球面平均法；Duhamel 原理 课程思政：从 2500 年前古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯开创的音 乐审美，到千百年来，潜心研究过音乐和数学的关系的开普勒、伽利略、欧拉、 傅里叶、哈代、泰勒等，再到 1746 年达朗贝尔对以小提琴弦为代表的弦振动问 题重新研究，从常微分方程发展为弦振动方程，对微积分的思想的依赖和对弦振 动的研究开创了偏微分方程这门学科。蕴藏在音乐中的和谐原理是科学的一种表 达形式，音乐与科学都是人类文明的载体。 第五章：二阶椭圆型方程的弱解理论 了解椭圆型方程定义弱解的基本思想，掌握弱解的定义、存在性、弱解的正 则性、弱最大值原理和强最大值原理、特征值与特征函数。 5.1 弱解的存在性 5.2 弱解的正则性 5.3 弱解的有界性 教学重点：椭圆型方程弱解的存在性、正则性的证明；最大值原理；特征函 数 教学难点：能量估计；辅助函数构造技巧的掌握 课程思政：随着生产实践和科学技术的繁荣发展，在物理学、力学及工程技 术中继续提出大量数学物理与偏微分方程的新问题。在大型工程、尖端技术及理 论中都需要对这些偏微分方程与方程组作深入的研究，另一方面，随着数学学科 的不断进步，新的数学理论和方法不断涌现，以至采用非常新颖的高深数学理论 去研究偏微分方程，为偏微分方程的研究打开了新局面。计算技术与计算方法的 发展，高性能超级计算机的出现也对偏微分方程研究产生重要的作用。 第六章：线性发展方程的弱解理论 了解发展方程定义弱解的基本思想，掌握二阶抛物型方程弱解的定义、存在 性、正则性，掌握二阶双曲型方程和方程组弱解的定义、存在性、正则性、唯一
性，半群理论及其基本应用。 6.1二阶抛物型方程的弱解理论（研讨课) 6.2二阶双曲型方程（组）的弱解理论（研讨课） 教学重点：含有时间变量的发展方程弱解存在性与正则性的证明；半群理论 教学难点：二阶双曲方程组粘性消失法的掌握 课程思政：介绍李大潜院士在双曲方程研究中的贡献。李大潜院士鼓励基础 理论研究与应用研究相结合，他从上世纪60年代初紧紧围绕“两弹一星”的 研制而投入到与之密切相关的双曲型方程研究，到成功提出了电阻率法测井 的数学模型与方法，在科研上不断有所建树，鼓励学生理论和实践相结合， 将科研成果写在祖国大地上。19世纪导出的著名的偏微分方程组：描述流体 运动的Navier--Stokes方程与千禧年七大数学难题。孤立波的发现与 Bousinessq方程，从中感受新理论的发现过程中的曲折和坚持
性，半群理论及其基本应用。 6.1 二阶抛物型方程的弱解理论（研讨课） 6.2 二阶双曲型方程（组）的弱解理论（研讨课） 教学重点：含有时间变量的发展方程弱解存在性与正则性的证明；半群理论 教学难点：二阶双曲方程组粘性消失法的掌握 课程思政：介绍李大潜院士在双曲方程研究中的贡献。李大潜院士鼓励基础 理论研究与应用研究相结合，他从上世纪 60 年代初紧紧围绕“两弹一星”的 研制而投入到与之密切相关的双曲型方程研究，到成功提出了电阻率法测井 的数学模型与方法，在科研上不断有所建树，鼓励学生理论和实践相结合， 将科研成果写在祖国大地上。19 世纪导出的著名的偏微分方程组：描述流体 运动的 Navier-Stokes 方程与千禧年七大数学难题。孤立波的发现与 Bousinessq 方程，从中感受新理论的发现过程中的曲折和坚持