电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第5章 平稳随机过程 第4节 平稳过程的谱分析简介

§5.4平稳过程的谱分析简介 付氏变换在应用和理论中是一种有效的 分析方法，特别在电路分析中用付氏变换确 立了时域和频域间的关系。 现用付氏变换来研究平稳过程. 、确定函数的功率谱密度 电子科技大学

电子科技大学 §5.4 平稳过程的谱分析简介 付氏变换在应用和理论中是一种有效的 分析方法, 特别在电路分析中用付氏变换确 立了时域和频域间的关系. 现用付氏变换来研究平稳过程. 一、确定函数的功率谱密度

设x()是定义在时间轴上的确定函数（信 号)，满足 ∫x()'i<o, 则x()的付氏变换存在，或称x(t)具有频谱： F()=x(t)e-joidt (1) 一般F(o)是复函数，有 Fx(-)=x(t)ejo!dt=F(), 电子科技大学

电子科技大学 设x(t)是定义在时间轴上的确定函数(信 号), 满足    ( )  , 2 x t dt ( ) ( ) (1)     F   x t e dt j t x 则x(t)的付氏变换存在, 或称x(t)具有频谱: 一般Fx ()是复函数，有 ()  ( )  (),    x j t Fx x t e dt F

Fx(ω)的逆变换为 x(t)=Fs()ejwl dt (2) 2兀 Parseval(巴塞瓦尔)公式成立： Fd ,(3) 称F(o)为能谱密度， x()在R上 的总能量 3)式为信号的总能量的谱表示 电子科技大学

电子科技大学 Fx ()的逆变换为 ( ) (2) 2 1 ( )      x t  F e dt j t x Parseval(巴塞瓦尔)公式成立： ( ) (3) 2 1 ( ) 2 2           x t dt F d 称 为能谱密度， 2 F() x(t)在R上 的总能量 （3)式为信号的总能量的谱表示

x(t), t≤T; (T>0) t>T. xT(t)的付氏变换记为 F(,T)=(t)ejdt=x(t)e-jodt 且巴塞瓦尔公式为 x70dt=，∫F(o,T)2da 二、平稳过程的功率谱密度 电子科技大学

电子科技大学 若令 （ 0） 0, . ( ), ; ( )        T t T x t t T x t T xT (t)的付氏变换记为           T   T j t j t T F( ,T) x (t)e dt x(t)e dt 且巴塞瓦尔公式为           x t dt F T d T 2 2 ( , ) 2 1 [ ( )] 二、平稳过程的功率谱密度

设过程X(t),t∈R均方连续均方积分 Fx(@,T)=∫X(t)e-jodt 存在，且有巴塞瓦尔等式 F(o.TWdo 成立 上式两边求均值再取极限，左端为 mr,xoa (4) 电子科技大学

电子科技大学 设过程{X(t), t  R}均方连续,均方积分      T T j t FX ( ,T) X(t)e dt 存在, 且有巴塞瓦尔等式 ( , ) (3 ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 2       T T F T d T X t dt T    成立. 上式两边求均值再取极限, 左端为 ( ) (4) 2 1 lim 2        T T T X t dt T E

称为平稳过程X()的平均功率， 若(4)中的积分与求均值可交换顺序，则 -27EXod=xg1=R,0=￥ 3)式右端为 平均功 E(o.T)'do 率等于 过程的 均方值 记Sx(@)=1im1E Fx(O,T) T→∞2T 电子科技大学

电子科技大学 称为平稳过程X(t) 的平均功率. 若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则 2 2 2 { ( ) } [ ( ) ] (0) 2 1 lim X X T T T E X t dt E X t R T         平均功 率等于 过程的 均方值 (3′) 式右端为        E F T d T T [ ( , ) } 2 1 lim{ 2 1 2 记 [ ( , ) ]， 2 1 ( ) lim 2 E F T T S X T X    

称为平稳过程X()的功率谱密度（功率谱， 谱密度). 注 从频率角度描述平稳过程统计规律的 主要数字特征. 巴塞瓦尔等式可表示为 y吸=2sx(o@ (5) 称为平稳过程的平均功率谱表示式。 电子科技大学

电子科技大学 称为平稳过程X(t)的功率谱密度(功率谱, 谱密度). 从频率角度描述平稳过程统计规律的 主要数字特征. 注 巴塞瓦尔等式可表示为   (5) 2 2 1      X  SX d 称为平稳过程的平均功率谱表示式

三、平稳过程相关函数的谱分解 研究平稳过程的相关函数与功率谱密度间 的关系. 定理5.4.1 (维纳一辛钦)设{X(),t∈T是均方 连续平稳过程，EX()]=0,当其相关函数R() 满足 R()dr<00, 有 电子科技大学

电子科技大学 三、平稳过程相关函数的谱分解 研究平稳过程的相关函数与功率谱密度间 的关系. 定理5.4.1 (维纳—辛钦)设{X(t), t ∈T}是均方 连续平稳过程，E[X(t)]=0, 当其相关函数R(τ) 满足 ( )  ,    R  d 有

S(o)=」nR(r)ed, (5) R=远 S(w)evdo, (6) 平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一 对Fourier变换， 注 (6)式称为相关函数的谱分解式。 推论1 {X(t),t∈P是平稳过程，则其谱密 度S()满足 电子科技大学

电子科技大学               ( ) , (6) 2 1 ( ) , (5)          S e d R e d j j R( ) S( ) 平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一 对Fourier变换. 注 (6) 式称为相关函数的谱分解式. 推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足

1)S(ω)为实值非负函数，即 S(o)=S(o)≥0. 2)又若{X(t),t∈R是实过程，则S(ω)是偶 函数. 证 1)so)=im,EF(o,T1=S(a)≥0： T→02T 2)实平稳过程的相关函数是偶函数，由（⑤） 式可得 S(@)=["R(r)e-l'dr =[R(-7)e-iodr 电子科技大学

电子科技大学 1) S(ω)为实值非负函数，即 S()  S()  0. 2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. [ ( , ) ] ( ) 0; 2 1 1) ( ) lim 2      E F  T S  T S T 证 2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得                  S R e d R e d j j ( ) ( ) ( )