电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第1章 预备知识 第2节 随机变量及其分布

随机地程及应用 精品课程 第1章第2节随机变量及其分布

第1章第2节 随机变量及其分布

随机变量及其分布 §1.2随机变量及其分布 一、随机变量 定义1.2.1设(2，F,P)是概率空间，X(o)是定义 在2上的单值实函数，若对于任意实数x∈R,有 {o:X(o)≤x}∈F, 称X(ω)是随机变量.。 可测空间 2,上的可 测函数 电子科技大学

随机变量及其分布 电子科技大学 §1.2 随机变量及其分布 一、随机变量 定义1.2.1 设(Ω,F, P)是概率空间, X(ω)是定义 在Ω上的单值实函数, 若对于任意实数x∈R, 有 {: X()  x} F, 称X(ω)是随机变量. 可测空间 (Ω,F)上的可 测函数

随机变量及其分布 X是概率空间(2，F,P)上的随机变量，有 对于ω∈2，有唯一X(w)与之对应， 随机变量X 可理解为从 RxCR 样本空间2 X 到实数集Rx x=X() 的一个映射 电子科技大学

随机变量及其分布 电子科技大学 X是概率空间(Ω，F, P)上的随机变量, 有 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, ω X Ω RX  R x=X(ω) 随机变量X 可理解为从 样本空间Ω 到实数集RX 的一个映射

随机变量及其分布 注{o:X(ω≤={X≤eF, 使P≤总有意义， 由随机变量定义及σ代数性质，有 十00 (X==(X≤x-U{X≤x-3∈f k=1 {Xx=-{X≤X}∈F,…· 电子科技大学

随机变量及其分布 电子科技大学 注 由随机变量定义及σ 代数性质, 有 } F 1 { } { } { 1           k k X x X x X x {X  x}  {X  x} {X  x} F {X  x}  Ω {X  X} F, {ω:X(ω)  x}  {X  x} F, 使P{X≤x}总有意义

随机变量及其分布 二、分布函数 定义1.2.2设X(o)是定义在概率空间(2， F,P)上的随机变量，令 F(x)=P{X≤x, Vx∈R 称Fx)为X的分布函数 对VM<b∈R,有P{a<X≤b}=F(b)-F(a), 性质 1)Fx)是单调不减函数； 电子科技大学

随机变量及其分布 电子科技大学 二、分布函数 定义1.2.2 设X(ω)是定义在概率空间(Ω, F, P)上的随机变量, 令 F(x)  P{X  x}, x  R 称F(x) 为X 的分布函数. 对 a  b R, 有 P{a  X  b}  F(b)  F(a), 1) F(x)是单调不减函数； 性质

随机变量及其分布 2)0≤F(x)≤1，limF(x)=0,limF(x)=1; X→-00 3)F心)是右连续函数，即对 x∈R,F(x+0)=F(x) 证3)由于Fx)单调不减，根据单调原理 仅需证，对任意的x∈R,有 -Fo 电子科技大学

随机变量及其分布 电子科技大学 2) 0  ( )  1, lim ( )  0, lim ( )  1;   F x F x F x x x 3） F(x)是右连续函数, 即对 x  R, F(x  0)  F(x). 证3）由于F(x)单调不减，根据单调原理 仅需证,对任意的x∈R, 有 ( ). 1 lim F x n F x n         

随机变量及其分布 oo 因 ∩{X≤x+}={X≤x, n=] 2 且 X≤x+1}X≤x+23 D{X≤x+二}D… X x+1/2x+1 事件列X≤x+单调下降趋于≤，由概率 n 的连续性知性质3成立子科技大学

随机变量及其分布 电子科技大学 因 } { }， 1 { 1 X x n X x n                    } 1 { } 2 1 { 1} { n X x 且 X x X x ) …… ) ) x x+1/2 x+1 事件列 单调下降趋于{X≤x},由概率 的连续性知性质3成立. } 1 { n X  x 

随机变量及其分布 三、二维随机变量 定义1.2.3如果X和Y是定义在同一概率空 间(2，F,P)上的两个随机变量，称(X,Y)为二 维随机变量（向量）. 思考 如何准确理解“维”的含义？ 如何理解“定义在同一概率空间”？ 电子科技大学

随机变量及其分布 电子科技大学 三、二维随机变量 定义1.2.3 如果X 和Y 是定义在同一概率空 间(Ω, F, P)上的两个随机变量, 称(X,Y )为二 维随机变量(向量). 如何准确理解“维”的含义? 如何理解“定义在同一概率空间” ? 思考:

随机变量及其分布 对Vω∈2，有唯一(X(ω)，Y(o)与之对应. RxCR 2 x-X(@) 0 Ry CR J=Y(@) (X,)是概率空间(2，F,P)上的随机向量. 电子科技大学

随机变量及其分布 电子科技大学 ω Ω x=X(ω) y=Y (ω) RX  R RY  R (X, Y) 是概率空间(Ω,F, P)上的随机向量

随机变量及其分布 Ex.1随机试验E:检查n个学生的健康情况，{心 表示抽检到第名学生，记样本空间为 2={1,2,…,n} 对于样本点∈2可定义 身高：X()会h, 体重：Y()会w. 身高X与体重Y构成定义在(2，可上的二维 随机变量(X,). EX2先抛一枚均匀硬币，再掷一颗均匀骰 子试验的样本空间为 电子科技大学

随机变量及其分布 电子科技大学 Ex.1 随机试验E: 检查n个学生的健康情况，{i} 表示抽检到第i 名学生，记样本空间为 Ω  {1, 2,, n} 身高X与体重Y构成定义在(Ω, F)上的二维 随机变量(X, Y). EX.2 先抛一枚均匀硬币, 再掷一颗均匀骰 子试验的样本空间为