电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第1章 预备知识 第3节 随机变量的函数

随机地程及应用 精品课程 第1章第3节随机变量的函数

第1章第3节 随机变量的函数

随机变量的函数 §1.3随机变量的函数 1.随机变量的函数是否仍为同一概率空间 两个问题 上的随机变量？ 2.如何确定其分布？ 1.问题1的回答 结论有充分条件成立

随机变量的函数 电子科技大学 1.问题1的回答 两 个 问 题 1. 随机变量的函数是否仍为同一概率空间 上的随机变量? 2. 如何确定其分布？ §1.3 随机变量的函数 结论 有充分条件成立

随机变量的函数 2.确定随机变量的函数的分布 1)设已知(X1,X…,X)的联合分布，并有k 个n元连续函数： Jy1=g1化1X),,Jyk=8kc1…Xn) 则Y=8(X,…,Xm),(=1,2,…,k)是随机变量. (Y1,Y2,,Y)的联合分布函数为： F(y1,y2,…,y)=PY≤y1,Y2≤y2,…,Yk≤y} =P{g1(X1,…,Xm)≤y1,…,8k(X1,…,Xn)≤yk}

随机变量的函数 电子科技大学 2.确定随机变量的函数的分布 1）设已知(X1 ,X2 ,…,Xn )的联合分布,并有k 个n元连续函数： y1 =g1(x1 ,…,xn ) ,…, yk =gk(x1 ,…,xn ) 则 Yi =gi(X1 ,…,Xn ), ( i=1,2,…,k)是随机变量. (Y1 ,Y2 ,…,Yk)的联合分布函数为： ( , , , ) { , , , } 1 2 k 1 1 2 2 k k F y y  y  P Y  y Y  y  Y  y { ( , , ) , , ( , , ) } 1 1 n 1 k 1 n k  P g X  X  y  g X  X  y

随机变量的函数 当(X1,X2,,X)是连续型的随机变量时 F(y1,y2,…,Jyk)=j…f(x1,…,xn)d1…kn D 其中D={x,…xn):g(K1,…xn)≤》，i=1,2,…,k 当（X,X2X)是离散型的随机变量时 p(0y1y2,…,Jy)=∑P{X,=x1,,Xn=xn} (1,…,xn)eD 其中D={x,…xn):g(x,…xn)=y,i=1,2,…,k

随机变量的函数 电子科技大学 当（X1 ,X2 ,…,Xk）是连续型的随机变量时 ( , , , ) 1 2 k F y y  y    n n  f x  x dx dx 1 1 D ( , , ) {( , ): ( , ) , 1,2, , } 1 1 D x x g x x y i k 其中   n i  n  i   当（X1 ,X2 ,…,Xk）是离散型的随机变量时 ( , , , ) 1 2 k p y y  y      x x D n n n P X x X x ( , , ) 1 1 1 { , , }   1 1 {( , ): ( , ) , 1,2, , } D n i n i 其中  x x g x x  y i   k

随机变量的函数 2)关于一个（或几个）随机变量的函数 3)二维随机变量的变换 定理1.3.1设(X1,X2)的联合密度为fx1,x2),若 函数 y1=81(x1,x2)5 y2=82(X1,X2). 满足下述条件： ①存在惟一反函数 x1=x1(y1,y2), x2=x2(y1,y2)

随机变量的函数 电子科技大学 2)关于一个(或几个)随机变量的函数 3）二维随机变量的变换 定理1.3.1 设(X1 , X2)的联合密度为f(x1 , x2),若 函数      ( , ). ( , ); 2 2 1 2 1 1 1 2 y g x x y g x x 满足下述条件:

随机变量的函数 ② 有连续的一阶偏导数； Ox1 ③Jacobi行列式 J= 0y2 Ox2 ≠0 ay Oy2 则Y1=81X1,X2),Y2=82X1,X2)的联合概率密度为 f[x(y1,y2),x2(v1,y2)]J

随机变量的函数 电子科技大学 ② 有连续的一阶偏导数； ③Jacobi行列式 0 2 2 1 2 2 1 1 1           y x y x y x y x J 则Y1 =g1(X1 ,X2), Y2 =g2(X1 ,X2)的联合概率密度为 f [x1 ( y1 , y2 ), x2 ( y1 , y2 )] J

随机变量的函数 证Y,Y是随机变量，其联合分布函数为 F(y1,y2)=∫∫f(x1,x2)1k2 其中D={(x1,x2):81(x1,x2)≤1,82（化1，x2)≤yz} 做积分变换 x1=X,(u1,u2)月 X2=x2(u1,2) F0)=∫f[x,(4,4,bx,(a,)]Jd,d

随机变量的函数 电子科技大学 证 Y1 , Y2是随机变量，其联合分布函数为    D 1 2 1 2 1 2 F( y , y ) f (x , x )dx dx D {( , ): ( , ) , ( , ) } 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 其中  x x g x x  y g x x  y 1 1 1 2 2 2 1 2 ( , ); ( , ). x x u u x x u u      做积分变换 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ), ( , ) J y y F y y f x u u x u u du du         

随机变量的函数 →f(0y1,y2)= a2F(y1,y2) ay18y2 f[x(y,V2),x2(y,y2)]J Ex2和的分布Y=X+X2 ∫=x x=y → Jy2=1+X2 x2=y2-y1 反函数

随机变量的函数 电子科技大学 1 2 1 2 2 1 2 ( , ) ( , ) y y F y y f y y      f [x ( y , y ), x ( y , y )] J  1 1 2 2 1 2 Ex.2 和的分布Y=X1+X2              2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 x y y x y y x x y x 令 反函数

随机变量的函数 J= 4= 得Y=X1和Y2=X+X2的联合密度为 f.(y1,2)=fxx,（y1,y2-Jy1)J 关于Y2=X+X2的边缘密度为： fX1+X,(02)=8fX1,X,01,2-y1)1

随机变量的函数 电子科技大学 1, 1 1 1 0 2 2 1 2 2 1 1 1             y x y x y x y x J 得Y1 =X1和Y2 =X1+X2的联合密度为 f y y f y y y J Y Y X X ( , ) ( , ) , 1 2 , 1 2 1 1 2 1 2   关于Y2 =X1+X2的边缘密度为:      2  , 1 2 1 1 ( ) ( , ) 1 2 1 2 fX X y fX X y y y dy

随机变量的函数 若X1,X2相互独立，则 fX1+X20y2)=fx01)fx3(02-h)d1 称为两个函数 的卷积或褶积

随机变量的函数 电子科技大学 若X1 , X2相互独立,则      2  1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 fX X y fX y fX y y dy 称为两个函数 的卷积或褶积