§3.3泊松过程（一） 一、计数过程与泊松过程 在天文，地理，物理，生物，通信，医学， 计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随 机事件流的计数问题，如： 盖格记数器上的粒子流； 电话交换机上的呼唤流； 计算机网络上的（图象，声音)流； 编码（密码)中的误码流； 电子科技大学
电子科技大学 一、计数过程与泊松过程 在天文，地理，物理，生物，通信，医学， 计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随 机事件流的计数问题，如： 盖格记数器上的粒子流； 电话交换机上的呼唤流； 计算机网络上的（图象，声音）流； 编码（密码）中的误码流； §3.3 泊 松 过 程(一)
§3.3泊松过程（一） 交通中事故流； 细胞中染色体的交换次数，… 均构成以时间顺序出现的事件流A1A2,… 定义3.3.1随机过程{N),仑0}称为计数过 程(Counting Process),如果N()表示在(0，)内 事件A出现的总次数 计数过程应满足： (1)W(t)≥0； 电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一) 电子科技大学 交通中事故流； 细胞中染色体的交换次数，… 均构成以时间顺序出现的事件流 A1 ,A2 , … 定义3.3.1 随机过程{N(t), t≥0}称为计数过 程(Counting Process),如果N(t)表示在(0, t)内 事件A 出现的总次数. 计数过程应满足： (1) N( t )≥0;
§3.3泊松过程（一）》 (2)N(t)取非负整数值； 3)如果s<t,则N(s)≤Nt); (4)对于s<t,N()一NS)表示时间间隔(S,)内 事件出现的次数， 0 Poisson.过程是一类很重要的计数过程. 电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一) 电子科技大学 (2) N( t ) 取非负整数值； (3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )； (4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间隔(s, t)内 事件出现的次数. ) s ) t Poisson过程是一类很重要的计数过程
§3.3泊松过程（一） Poisson过程数学模型： 电话呼叫过程设N(t)为[0，)时间内到达 的呼叫次数，其状态空间为 E={0,1,2,…} 此过程有如下特，点： 1)零初值性N(0)=0; 2)独立增量性任意两个不相重叠的时间间 隔内到达的呼叫次数相互独立； 电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一) 电子科技大学 Poisson过程数学模型： 电话呼叫过程 设N ( t )为[0, t) 时间内到达 的呼叫次数, 其状态空间为 E={0，1，2，…} 此过程有如下特点： 1) 零初值性 N( 0 )=0; 2) 独立增量性 任意两个不相重叠的时间间 隔内到达的呼叫次数相互独立;
§33泊松过程（一） 3)齐次性在(S,)时间内到达的呼叫次数仅与 时间间隔长度-5有关，而与起始时间无关； 4)普通性在充分小的时间间隔内到达的呼 叫次数最多仅有一次，即对充分小的△t有 P{N(△t)=0}=p(△t)=1-入△t+o(△t), P{N(△t)=1}=p(△t)=入△t+o(△t): P{N(△)≥2}=∑pk(△t)=o(△t), k=2 其中2>0. 电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一) 电子科技大学 3) 齐次性 在(s, t)时间内到达的呼叫次数仅与 时间间隔长度t-s 有关，而与起始时间 s 无关; 4）普通性 在充分小的时间间隔内到达的呼 叫次数最多仅有一次，即对充分小的Δt,有 { ( ) 0} ( ) 1 ( ), 0 P N t p t t o t { ( ) 1} ( ) ( ), 1 P N t p t t o t { ( ) 2} ( ) ( ), 2 P N t p t o t k k 其中λ＞0
§3.3泊松过程（一） 定义3.3.2设计数过程{N(t),20}满足： (1)N(0)=0; (2)是平稳独立增量过程； (3)P{N(h)=1}=2h+o(h),2>0; (4)P{Nh)≥2=o(h). 称{N(t),仑0)是参数（或速率，强度）为2的 齐次泊松过程. 电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一) 电子科技大学 定义3.3.2 设计数过程{N( t ), t≥0} 满足： (1) N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0； (4) P{N(h)≥2}=o(h). 称{N( t ), t≥0)是参数(或速率,强度)为λ的 齐次泊松过程
§3.3泊松过程（一） EX.1在数字通信中误码率孔是重要指标， 设{N(t),仑0}为时间段[0，)内发生的误码次数， {N(t),仑0}是计数过程，而且满足 (1)初始时刻不出现误码是必然的，故N(0)=0; (2)在互不相交的区间 [0,t1),[t1,t2)…,tm-1,tn),0<t1<t2<…<tn 出现的误码数互不影响，故N(t)独立增量过程 在系统稳定运行的条件下，在相同长度区间 内出现k个误码概率应相同，故可认为(t)是 增量平稳过程， 电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一) 电子科技大学 (1) 初始时刻不出现误码是必然的, 故N(0)=0; (2) 在互不相交的区间 n n n t t t t t t t t [0, 1 ),[ 1 , 2 ),,[ 1 , ), 0 1 2 出现的误码数互不影响, 故N( t )独立增量过程. 在系统稳定运行的条件下, 在相同长度区间 内出现k个误码概率应相同, 故可认为N( t )是 增量平稳过程
§3.3泊松过程（一） N(t),20}是平稳独立增量过程； ③)认为△t时间内出现一个误码的可能性 与区间长度成正比是合理的，即有 PN(△t)=1}=△t+o(△)，2>0； (4)假定对足够小的△时间内，出现两个以 上误码的概率是关于△的高阶无穷小也是合 理的，有 P{N(△t)≥2=0（△t): 电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一) 电子科技大学 {N( t ), t≥0}是平稳独立增量过程； (3) 认为Δt时间内出现一个误码的可能性 与区间长度成正比是合理的,即有 P{N(t)=1}=λt +o(t), λ>0； (4) 假定对足够小的Δt时间内,出现两个以 上误码的概率是关于Δt的高阶无穷小也是合 理的, 有 P{N(t)≥2}=o(t)
§3.3泊松过程（一） 终上所述，可用Poisson:过程数学模型描述通 信系统中误码计数问题， 可认为 {N(t),仑0}是强度为入的泊松计数过程. 定理3.3.1齐次泊松过程{Nt),20}在时间 间隔(to,t,+t)内事件出现n次的概率为 PW(4+t)-N(川=n= )”e,n=0,12,） 电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一) 电子科技大学 定理3.3.1 齐次泊松过程{N( t ),t≥0}在时间 间隔(t0 , t0+t)内事件出现n 次的概率为 终上所述,可用Poisson过程数学模型描述通 信系统中误码计数问题. , ( 0,1,2, ) ! ( ) {[ ( ) ( )] } 0 0 e n n t P N t t N t n t n
§3.3泊松过程（一） 证记Pn(t)=P{W(t)=n}=P{[W(t)-N(O)]=n} P[N(to +t)-N(to)=n}(1) 10由条件(2)(4，得： 平稳 增 Po(t+h)=P(N(t+h)=0)=P(N(t)=0,N(t+h)-N(t)=0) =PN()=0}P{Nt什h)-N)=O0增量 独立 =Po()[1一2h+o(h)] o(h) → Po(t+h)-fo(t)=-AP() h 电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一) 电子科技大学 平稳 1 增量 o 由条件(2)～(4)，得： P0(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝ = P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0} 增量 独立 =P0(t)[1－λh+o(h)] h o h P t h P t h P t ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0