电子神发女学 例 /966 第一章绪论 1
第一章 绪论 1
第一章绪论 0 ◆1.1基本概念 ◆1.2二阶半线性方程的分类与标准形
第一章 绪论 1.1 基本概念 1.2 二阶半线性方程的分类与标准形
1.1基本概念 1.1.1偏微分方程的定义与例子 含有自变量、未知函数及未知函数的导数的关系式称为微分方程。 微分方程中自变量的个数多于一个，未知函数是多元函数，未知函数的导数 是偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程。 或者说含有多元函数及其若干阶偏导数的关系式称为偏微分方程。 例如： 4+.+x=f(x1,xn)月 4-a2(u+.+4x)=f(x,,xn,）, u,buus =uxx2 (广+(4)°++(4)-u=0
1.1.1 偏微分方程的定义与例子 含有自变量、未知函数及未知函数的导数的关系式称为微分方程。 1.1 基本概念 例如： 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 , , , , , , , , 0. n n n n n x x x x n t x x x x n t x xxx x x x u u f x x u a u u f x x t u buu u u u u u 微分方程中自变量的个数多于一个，未知函数是多元函数，未知函数的导数 是偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程。 或者说含有多元函数及其若干阶偏导数的关系式称为偏微分方程
1.1基本概念 一般地，含有n个自变量x1,xn的一个未知函数u(化1X)的偏微分方程可 写为如下形式 F(x,4,Du,4,4,4x）=0, (1.1.1) 其中=（化，，xD=4xx2…,4F是关于自变量和未知函数u及u的有限多个 偏微商的已知函数。F可以不显含未知函数及其自变量x,但必须含有未知函数 的偏微商。 多个未知函数及其偏微商的多个偏微分方程构成一个偏微分方程组。 假设：自变量x=化1，，x)取实数值，的各阶偏微商连续
一般地，含有n个自变量x1 ,…, xn的一个未知函数u(x1 ,…,xn )的偏微分方程可 写为如下形式 1 1 1 2 , , , , , , , 0, n n F x u Du u u u x x x x x x （1.1.1） 其中x=(x1 ,…, xn ), Du=(ux1 ,ux2 ,…,uxn ), F是关于自变量x和未知函数u及u的有限多个 偏微商的已知函数。 F 可以不显含未知函数及其自变量 x，但必须含有未知函数 的偏微商。 1.1 基本概念 假设：自变量x=(x1 ,…, xn )取实数值，u的各阶偏微商连续。 多个未知函数及其偏微商的多个偏微分方程构成一个偏微分方程组
1.1基本概念 定义1.1.1若存在一个函数(x,,xn)(在方程组的情形是一组函数)在其自变量 的变化区域2R”内连续，并且具有方程中出现的各界连续偏微商，代入方程 (1.1.1)（方程组)后，使它在该区域内成为恒等式，则称函数u为方程（1.1.1) (方程组)在区域2内的经典解，或简称解。 阶数：未知函数的最高阶偏微商的阶数。 方程：线性方程、非线性方程 线性方程：方程对于未知函数及其所有的偏微商是线性的
定义1.1.1 若存在一个函数 （在方程组的情形是一组函数）在其自变量 的变化区域 内连续，并且具有方程中出现的各界连续偏微商，代入方程 （1.1.1）（方程组）后，使它在该区域内成为恒等式，则称函数 为方程（1.1.1） （方程组）在区域 内的经典解，或简称解。 u x x 1 , , n n u 1.1 基本概念 阶数：未知函数的最高阶偏微商的阶数。 线性方程：方程对于未知函数及其所有的偏微商是线性的。 方程：线性方程、非线性方程
1.1基本概念 个自变量的二阶线性方程可写为如下形式： 立a4+2b4,+cu=f). (1.1.2) 这里a分b,c,f都是自变量c1,x)的已知函数。不失一般性，可以假设a:(位，j =1,,.f称为方程（1.1.2)的自由项。 齐次方程：f=0 非齐次方程：f丰0
n个自变量的二阶线性方程可写为如下形式： , 1 1 , i j i n n ij x x i x i j i a u b u cu f x 这里aij, bi , c, f 都是自变量(x1 ,…, xn )的已知函数。不失一般性，可以假设aij =aji (i, j =1,…,n). f 称为方程（1.1.2）的自由项。 齐次方程： f ≡0 （1.1.2） 1.1 基本概念 非齐次方程： f ≡ 0
1.1基本概念 非线性方程分类： 拟线性方程：仅对未知函数的所有最高阶微商（例如阶)是线性的， 即m阶微商的系数仅依赖于自变量(c1,,x)及未知函数的阶数低于m的微商。 半线性方程：在拟线性方程中，若最高阶微商的系数仅是自变量的函数。 全非线性方程：不是拟线性方程的非线性方程。 时间变量：t 空间变量：X=(化1，，x) Laplace算子： o o2 Laplace?算子在刚性运动下保持不变， △= Oxi x 即在坐标的平移和旋转变换下不变
1.1 基本概念 拟线性方程：仅对未知函数的所有最高阶微商（例如m阶）是线性的， 即m阶微商的系数仅依赖于自变量(x1 ,…, xn )及未知函数的阶数低于m的微商。 半线性方程：在拟线性方程中，若最高阶微商的系数仅是自变量的函数。 全非线性方程：不是拟线性方程的非线性方程。 时间变量：t 空间变量：x=(x1 ,…, xn ) Laplace算子： 2 2 2 2 1 n x x Laplace算子在刚性运动下保持不变， 即在坐标的平移和旋转变换下不变。 非线性方程分类：
1.1基本概念 1.1.2定解问题 通解：满足方程的所有的解。 定解条件：附加在未知函数上的特定条件。 定解问题：寻求方程满足定解条件的解的问题。 定解条件：初始条件(Cauchy条件)，边界条件 定解问题：初始问题，边值问题 Robin 例如： Cauchy Dirichlet Neumann 4,-△u=f(x,t),x∈R”,0<t<o0,「△(x)=0,x∈2， △(x)=0,x∈2， =gx,x∈02 Ou (x,0)=p(x),x∈R" u=g(x),x∈a2 lav
1.1 基本概念 1.1.2 定解问题 通解：满足方程的所有的解。 定解条件：附加在未知函数上的特定条件。 定解问题：寻求方程满足定解条件的解的问题。 定解条件：初始条件（Cauchy条件），边界条件 定解问题：初始问题，边值问题 例如： ( , ), ,0 , ( ,0) ( ), . n t n u u f x t x t u x x x ( ) 0, , ( ), . u x x u g x x ( ) 0, , ( ), . u x x u g x x Cauchy Dirichlet Neumann Robin
1.1基本概念 1.1.2定解问题 定解问题多来源于实际问题，所以，一般说来，解是存在且唯一的，并且当 初始数据或边界数据有微小变化时解的变化时解的变化也应当微小，否则说明模 型可能不合理。 解的稳定性：当初始数据或边界数据有微小变化时，定解问题的解的变化也是微 小的。 定解问题的适定性(Hadmard):存在性、唯一性、稳定性。 关于偏微分方程问题的研究，没有普遍适用的已知理论，很大程度上依赖于 方程（问题）的特殊构造
解的稳定性：当初始数据或边界数据有微小变化时，定解问题的解的变化也是微 小的。 定解问题的适定性（Hadmard）：存在性、唯一性、稳定性。 1.1 基本概念 1.1.2 定解问题 关于偏微分方程问题的研究，没有普遍适用的已知理论，很大程度上依赖于 方程（问题）的特殊构造。 定解问题多来源于实际问题，所以，一般说来，解是存在且唯一的，并且当 初始数据或边界数据有微小变化时解的变化时解的变化也应当微小，否则说明模 型可能不合理
1.1基本概念 关于偏微分方程的研究，一般地有 (1)非线性方程的研究难于线性方程的研究； (2)高阶偏微分方程的研究难于低阶方程的研究； (3)方程组的研究难于单个方程的研究； (4)未知函数所含自变量多的难于自变量少的； (5)对大部分偏微分方程，得不到其显式解
1.1 基本概念 关于偏微分方程的研究，一般地有 （1）非线性方程的研究难于线性方程的研究； （2）高阶偏微分方程的研究难于低阶方程的研究； （3）方程组的研究难于单个方程的研究； （4）未知函数所含自变量多的难于自变量少的； （5）对大部分偏微分方程，得不到其显式解