电子科技大学：《数值分析 Numerical Analysis》课程教学资源（课件讲稿）矩阵特征值与特征向量的计算

恃征值与恃征向量的计算 。3.1.1盖氏圆 求Ax=2x ·定义3.1-1设A=[ailrn, 称由不等式lk-a≤a,所 确定的复区域为A的第i行个盖氏圆，记为G: G,=:k-ausag,i=12,...n. ·定理3.1-1若元为A的特征值，则∈UG 1

1 • 3.1.1 盖氏圆 • 定义3.1-1 设 A = [aij]nn，称由不等式 所 确定的复区域为 A 的第 i 行个盖氏圆，记为 Gi： • 定理3.1-1 若  为 A 的特征值，则 1 n ii ij j j i z a a      1 { : } 1 2 . n i ii ij j j i G z z a a i n       ，  ，，， 1 n i i  G   特征值与特征向量的计算 求Ax  x

1 0.1 0.2 0.3 0.5 3 0.1 0.2 例1估计方阵特征值的范围 A= 1 0.3 0.5 0.2 -0.3 -0.1 -4 解： G1={z:lz-1s0.6};G2={z:z-3≤0.8}； G3={z:z+1≤1.8}；G4={z:lz+4≤0.6}。 注：定理称A的n个特征值全落在n个盖氏圆上，但 未说明每个圆盘内都有一个特征值。 2

2 1 0.1 0.2 0.3 0.5 3 0.1 0.2 1 0.3 1 0.5 0.2 0.3 0.1 4 A            G1 G2 G3 G4 例1 估计方阵特征值的范围 解： G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。 注：定理称 A 的 n 个特征值全落在 n 个盖氏圆上，但 未说明每个圆盘内都有一个特征值

§1： 幂法和反幂法 设矩阵Λ=2)，用特征方程容易求得4的两个 引例 特征值为 2=-1,九2=3. 取初始向量x0)=(1,0)T,计算向量序列 xk+1)=Axk),k=0,1, 具体结果如下表所示： 3

3 §1 幂法和反幂法 引例 1 2 A 2 1        取初始向量 x(0) = (1,0)T，计算向量序列 ( 1 ) ( ) , 0 1 k k x A x k , , ...    具体结果如下表所示： 设矩阵 ，用特征方程容易求得 A 的两个 特征值为 1 2   1，   3

引例 幂法计算结果 k 0 1 0 1 1 2 2 5 4 3 13 14 4 41 40 5 121 122 6 365 364 7 1093 1094 4

4 引例 幂法计算结果

引例 考察两个相邻向量对应分量之比： =5 2.6 3.154 x x 2.951 3.016 2.994 x x 2 x 3.5 2.857 3.05 2.983 = 3.005 5

5 引例 考察两个相邻向量对应分量之比： (2) 1(1) 1 5 xx  (3) 1(2) 1 2.6 xx  (4) 1(3) 1 3.154 xx  (5) 1(4) 1 2.951 xx  (6) 1(5) 1 3.016 xx  (7) 1(6) 1 2.994 xx  (2) 2(1) 2 2 xx  (3) 2(2) 2 3.5 xx  (4) 2(3) 2 2.857 xx  (5) 2(4) 2 3.05 xx  (6) 2(5) 2 2.983 xx  (7) 2(6) 2 3.005 xx 

引例 考察两个相邻向量对应分量之比： 4.5 3.5 0 米 3 2.5 米 2 1.5 2 5 6 矩阵A= 的特征值为-1和3. 6

6 考察两个相邻向量对应分量之比： 矩阵 的特征值为 -1 和 3.        2 1 1 2 A 引例

§1 幂法和反幂法 1.1幂法 用于求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的近似值。 设A为n阶实矩阵，2，w,(i=1,2,…,n)为A的特征值 和相应的特征向量， 且满足：2>2≥23≥…≥2 1,山2，…，Wn,线性无关. 7

7 1.1 幂法 用于求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的近似值。 , , ( 1, 2, , ) A n i ui 设 为 阶实矩阵  i   n 为 A的特征值 和相应的特征向量, 1  2  3  n 且满足: 1 2 , , , , . u u  un 线性无关 §1 幂法和反幂法

对任意向量x), 有xo=∑a,W,a,不全为零. =1 x(k+1) x=A+1x0) = 4“aw=2a% i=1 +安r…字小] ≈2+'a, 8

8 , 1 (0 )    n i iui 有x  (k 1) (k ) x Ax   1 1 1 1 k   u   1 1 n k i i i i   u     k 1 (0) A x   ( 0 ) x 不全为零 .  i 1 1 n k i i i A  u     1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) k k n k u n n a u a u                     对任意向量

定理：设A∈Rx",特征值九，(i=1,2,…n)满足 >2≥2g≥…≥2， 且与2对应的特征向量4,42，…4n线性无关，则对任意 非零初始向量x(a,≠0)，向量序列 xk)=Ax0)-→2&， 西→k→0. 相应的特征向量为xk+). 注：x+≈2+a,W1,实际计算时将xk+)标准化。 9

9 1 2 3 1 2 (0) 1 ( 1) ( ) (0) 1 1 1 ( ) 1 , ( 1, 2, ) , , , ( 0), ( ). n n i n i n k k k k i k i A R i n u u u x x x A x u k x                            定理：设 特征值 满足 且与 对应的特征向量 线性无关，则对任意 非零初始向量 向量序列 ， ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 k k k x   u x    注：  ，实际计算时将 标准化。 ( 1) . k x 相应的特征向量为 

标准化 设与入，对应的特征向量 u 若心=（化，…x,h七，卡2七记七=ma() 取初始向量x,将x标准化为y x(k)=Ay(k-1) max(x)’k=1,2,… 则y)→ maG' max(x)-→，(k→o) 10

10 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) , 1, 2, max( ) k k k k k x Ay x y k x           ( ) 1 ( ) 1 1 , m ax( ) ( ) m ax( ) k u k y x k u 则      (0) (0) (0) 取初始向量 x ,将 x 标准化为 y 设与1对应的特征向量 u1 1 2 1 ( , , ), | | max(| |), max( ) n r i r i n x x x x x x x x   若    记 