数学物理方程与特殊函欲 第一章绪论 主讲：杨春
第一章 绪论 主讲：杨春
教材：《数学物理方程》（第二版） 主编：李明奇田太心 参考教材：《数学物理方程学习指导教程》 主编：李明奇杨春 MOOC资源：《数学物理方程》精品课程 主讲：李明奇杨春
教材：《数学物理方程》(第二版) 参考教材：《数学物理方程学习指导教程》 主编：李明奇 杨春 主讲：李明奇 杨春 主编：李明奇 田太心 MOOC资源：《数学物理方程》精品课程
主要内容 一、课程意义 二、课程学习的基本要求 三、物理定律 四、微分方程 五、场论初步、算符与常用函数
主要内容 二、课程学习的基本要求 三、物理定律 五、 场论初步、算符与常用函数 一、课程意义 四、 微分方程
一、课程意义 在物理学、无线电技术、自动化工程、光电子工程、生物工程等众多领域 中，经常涉及到的问题是研究物理量之间的函数关系。 要反映物理量之间的函数关系，通常归结为微分方程的布列与求解。 数学物理方程与特殊数函数课程主要介绍一些典型的、具有物理学背景的微 分方程的布列与求解。 所以，数学物理方程与特殊数函数就成为理工科学生的一门重要基础性课程。 二、课程学习的基本要求 理解数学物理方程中出现的基本概念；能正确写出典型物理问题的方程与定解 条件；熟练掌握三类典型偏微分方程定解问题的如下典型解法：分离变量法；行波 法；积分变换法；格林函数法。 考试重点：定解问题求解（统考，考教分离）
在物理学、无线电技术、自动化工程、光电子工程、生物工程等众多领域 中,经常涉及到的问题是研究物理量之间的函数关系。 要反映物理量之间的函数关系，通常归结为微分方程的布列与求解。 数学物理方程与特殊数函数课程主要介绍一些典型的、具有物理学背景的微 分方程的布列与求解。 所以，数学物理方程与特殊数函数就成为理工科学生的一门重要基础性课程。 一、课程意义 二、课程学习的基本要求 理解数学物理方程中出现的基本概念；能正确写出典型物理问题的方程与定解 条件；熟练掌握三类典型偏微分方程定解问题的如下典型解法：分离变量法；行波 法；积分变换法；格林函数法。 考试重点：定解问题求解(统考,考教分离)
三、物理定律 《数学物理方程与特殊数函数》课程主要介绍一些典型的、具有物理学背景的微分方程的布 列与求解，因此要涉及到一些物理学定律。 物理学定律反映的是某物理量在空间和时间中的变化规律。是同一类物理现象所遵循的共 同规律。 (一)典型的动力学定律 1、牛顿第二定律：F=ma. a一物体加速度；F一合外力；m物体质量。 2、刚体转动定律：M=Ie &一角加速度；I一转动惯量；M一合外力矩。 注：()质点的转动惯量等于质点的质量()与该质点到转轴的距离平方(r)的 乘积。即=mr2; (2)力的作用线与转轴之间的垂直距离()定义为力臂。力的大小与力臂的乘 积定义为力矩（①。即：M=fd;
《数学物理方程与特殊数函数》课程主要介绍一些典型的、具有物理学背景的微分方程的布 列与求解，因此要涉及到一些物理学定律。 物理学定律反映的是某物理量在空间和时间中的变化规律。是同一类物理现象所遵循的共 同规律。 1、牛顿第二定律: F = m a. a—物体加速度; F—合外力; m—物体质量。 (一) 典型的动力学定律 2、刚体转动定律: M = Iε. ε—角加速度; I—转动惯量; M—合外力矩。 注： (1) 质点的转动惯量等于质点的质量(m)与该质点到转轴的距离平方(r2 )的 乘积。即I = m r2 ; (2) 力的作用线与转轴之间的垂直距离(d)定义为力臂。力的大小与力臂的乘 积定义为力矩(M)。即：M=f d； 三、物理定律
3)质点绕定轴转动时，质点所处的垂直于转动轴的平面称为转动平面。质 点转动过程中，具有一定的角位移、角速度和角速度。 “角位移”是描述物体转动时位置变化的物理量。物体的角位移是指以特定 方式围绕指定轴旋转的角度。角位移一般用角度0或者弧度表示。 “角速度矢量。”：在转轴上画一有向线段，使其长度按照一定比例代表角速 度大小，其方向与质点转动方向按照右手螺旋法则确定。 “角加速度矢量ε”：角速度对时间的一阶导数。 3、胡克定律 ()弹簧：f=-kx; (2)弹性物体的应力：P=Yu 公式中P称为协强或应力。它表示弹性物体单位截面所受作用力，P=F/S。 公式中u表示伸长率（或相对伸长），称为协变。 Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。杨氏弹性模量由材料决定
(3) 质点绕定轴转动时，质点所处的垂直于转动轴的平面称为转动平面。质 点转动过程中，具有一定的角位移、角速度和角速度。 “角位移” 是描述物体转动时位置变化的物理量。物体的角位移是指以特定 方式围绕指定轴旋转的角度。角位移一般用角度θ或者弧度表示。 “角速度矢量ω”： 在转轴上画一有向线段，使其长度按照一定比例代表角速 度大小，其方向与质点转动方向按照右手螺旋法则确定。 “角加速度矢量ε”： 角速度对时间的一阶导数。 3、胡克定律 (1) 弹簧：f = - k x； (2) 弹性物体的应力: P Yu x 公式中P称为协强或应力。它表示弹性物体单位截面所受作用力，P=F/S。 公式中ux表示伸长率(或相对伸长)，称为协变。 Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。杨氏弹性模量由材料决定
(二)典型的热力学定律 1、傅里叶实验定律 当物体内存在温差时，会产生热量的流动。在dt时间里，沿着热流方向流 过面积微元dS的热流量(dQ)为： do=-ku,(M,t)dSdt 其中k为热传导系数（与材料有关），u(M,)为温度函数沿着热流方向的方 向导数。等式右端的负号表示热量由高温向低温流动。 注：引进热流密度q g=-ku (M,t)
1、傅里叶实验定律 当物体内存在温差时，会产生热量的流动。在d t时间里，沿着热流方向流 过面积微元d S的热流量(d Q)为： 其中k为热传导系数(与材料有关)，un (M , t)为温度函数沿着热流方向的方 向导数。等式右端的负号表示热量由高温向低温流动。 (二) 典型的热力学定律 ( , ) dQ ku M t dSdt n 注：引进热流密度q ( , ) q ku M t n
2、牛顿冷却定律 设u为物体周围的温度，s为物体表面的温度。那么，物体冷却时单位时 间流过单位面积的热流量(q)为： q=k(uls-uo) 其中k为热传导系数。 3、热量守恒定律 物体内部升温所吸收的热量，等于流入物体内部的热量和物体内部热源产 生的热量之和。 注：比热公式 物体内部升温所吸收的热量Q吸=Cm△T. 其中C是物体比热，是物体质量，△T是物体温度改变量
2、牛顿冷却定律 设u0为物体周围的温度，u|S为物体表面的温度。那么，物体冷却时单位时 间流过单位面积的热流量(q)为： 其中k为热传导系数。 q k u u S 0 3、热量守恒定律 物体内部升温所吸收的热量，等于流入物体内部的热量和物体内部热源产 生的热量之和。 注：比热公式 物体内部升温所吸收的热量 Q吸 = C m ΔT. 其中C是物体比热，m是物体质量，ΔT是物体温度改变量
粒子扩散与热传导相似，也有与傅里叶实验定律类似的实验定律。 4、扩散实验定律 当物体内粒子浓度分布不均匀时，会产生粒子的扩散流动。在d时间里， 沿着粒子流方向通过面积微元dS的粒子质量(dM①为： dM=-ku,(M,t)dSdt 其中k为扩散系数（与材料有关），山，(M,)为粒子浓度函数沿着粒子流方向 的方向导数。等式右端的负号表示粒子流由高浓度向低浓度流动。 (三)典型电磁学定律 1、电荷守恒定律 电荷既不能创造，也不能消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体， 或从物体的一部分转移到另一部分
粒子扩散与热传导相似，也有与傅里叶实验定律类似的实验定律。 4、扩散实验定律 当物体内粒子浓度分布不均匀时，会产生粒子的扩散流动。在d t时间里， 沿着粒子流方向通过面积微元d S的粒子质量(d M)为： ( , ) dM ku M t dSdt n 其中k为扩散系数(与材料有关)，un (M , t)为粒子浓度函数沿着粒子流方向 n的方向导数。等式右端的负号表示粒子流由高浓度向低浓度流动。 (三) 典型电磁学定律 1、电荷守恒定律 电荷既不能创造，也不能消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体， 或从物体的一部分转移到另一部分
2、库仑定律(coulomb law) ()放置于M,点处的电量为q的点电荷，在M点处激发的电势u(M①为： u(M)= 4πErMM 其中ε是介电常数，r是M与M之间的距离。 (2)垂直坐标平面xoy且位于M,点处的电荷密度为q的无限长带电线，在M处激发 的电势u(M为： u(M)=gIn 2πG 其中ε是介电常数，ro是M与M之间的距离
2、库仑定律(coulomb law) (1) 放置于M0点处的电量为q的点电荷，在M点处激发的电势u(M)为： 0 ( ) 4 MM q u M r 其中ε是介电常数，rMM0是M与M0之间的距离。 (2) 垂直坐标平面xoy且位于M0点处的电荷密度为q的无限长带电线，在M处激发 的电势u(M)为： 0 1 ( ) ln 2 MM q u M r 其中ε是介电常数，rMM0是M与M0之间的距离