本章将学习定解问题与偏微分方程理论。 一、波动方程 (一)细弦横振动方程 波动方程是一类典型的数学物理方程,许多物理问题,如细弦振动、细杆振动、 高频传输线的电流与电压、一定条件下的电磁波等,都涉及所谓的波动方程。我 们要求认识波动方程,能够用一定方法求解部分波动方程定解问题。 下面通过两端固定的细弦振动模型导出最简单的一维齐次波动方程。 1、物理背景 一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端沿x轴拉紧固定在x轴上 的L处,受到扰动,开始沿x轴(平衡位置)上下作微小横振动(细弦线上各点运动 方向垂直于x轴)。试建立细弦线上任意点位移函数u(x,t)所满足的规律。 30000000000008eeee9e0000000000000000000000000g
本章将学习定解问题与偏微分方程理论。 (一) 细弦横振动方程 波动方程是一类典型的数学物理方程,许多物理问题,如细弦振动、细杆振动、 高频传输线的电流与电压、一定条件下的电磁波等,都涉及所谓的波动方程。我 们要求认识波动方程,能够用一定方法求解部分波动方程定解问题。 下面通过两端固定的细弦振动模型导出最简单的一维齐次波动方程。 1、物理背景 一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端沿x轴拉紧固定在x轴上 的L处,受到扰动,开始沿x轴(平衡位置)上下作微小横振动(细弦线上各点运动 方向垂直于x轴)。试建立细弦线上任意点位移函数u(x,t)所满足的规律。 一、波动方程
2、方程推导 设细弦线各点线密度为P,细弦线质点 之间相互作用力为张力Tx,)。 水平合力为零=>T2c0s%2-T1c0sa,=0。 T X 因为微小振动,所以:T,≈T≈T xx+dx 铅直合力:T(sin2-sin4)=T(tan必一tan) 由牛二律得:T(tan2-tana)=pdxu 即:Tux+dc,)-uc,t=pdx un 根据有限增量公式得到:Tua(c+dr,)dr=pdx uu 化简后得到:um=2ue 其中: =a2 该方程称为一维齐次波动方程。 p
2、方程推导 设细弦线各点线密度为ρ,细弦线质点 之间相互作用力为张力T(x,t) 。 u x T1 T2 O x x+dx ds 1 2 水平合力为零 => T2 cos 2-T1 cos 1 = 0。 因为微小振动,所以: T2 ≈T1 ≈T. 铅直合力: T( sin 2 - sin 1 ) =T( tan 2 - tan 1 ) 由牛二律得:T( tan 2 - tan 1 ) = ρ d x u tt 即:T[ ux (x+dx,t)-ux (x,t)] = ρdx utt 根据有限增量公式得到:T uxx (x+θdx,t) dx = ρdx utt 化简后得到:utt = a 2 uxx 其中: 2 a T 该方程称为一维齐次波动方程
2 如果要考虑细弦重量和外力作用,那么 可以导出方程形式为: uy aug+f(x,t) X xx+dx 如果还要考虑细弦受到的阻尼,那么,方程中还会包含阻尼项。 波动方程二维与三维形式为: 4=d2[u.+n]+fx,y0 4,=d2[4+4y+4e]+f,y2,)
如果要考虑细弦重量和外力作用,那么 可以导出方程形式为: u x T1 T2 O x x+dx ds 1 2 2 ( , ) tt xx u a u f x t 如果还要考虑细弦受到的阻尼,那么,方程中还会包含阻尼项。 波动方程二维与三维形式为: 2 + ( , , ) tt xx yy u a u u f x y t 2 + ( , , , ) tt xx yy zz u a u u u f x y z t
(二)细杆振动 1、问题描述 设均匀细杆长为L,线密度为,杨氏模量为Y,杆的一端固定在坐标原点,细杆受 到沿杆长方向的扰动(沿x轴方向的振动)。试建立杆上质点位移函数ux,)的纵向 振动方程。 2、方程推导 u(x,) u(x+dx,t) xx+dx 由牛顿第二定律: SYlu (x+dx,t)-u(x,t)=psdxu 化简得到:4m=a2ux 其中:2=Wp
1、问题描述 (二) 细杆振动 设均匀细杆长为L,线密度为,杨氏模量为Y,杆的一端固定在坐标原点,细杆受 到沿杆长方向的扰动(沿x轴方向的振动)。试建立杆上质点位移函数u(x,t)的纵向 振动方程。 2、方程推导 u(x,t) u(x+dx,t) x x+dx L O x SY[u x (x + d x,t)-u x (x,t)]= S d x u tt 由牛顿第二定律: 化简得到:utt = a 2 uxx 其中:a 2 = Y/
(三)高频传输线电流电压 1、问题描述 考虑双线传输线,把单位传输线所具有的导线电阻、线间电导、电容以及电感分别 记作R,g,c和L.建立电压u(x,t)和电流强度1(x,t)所满足的微分方程。 2、简要背景 对于直流电或低频交流电,同一支路的电流相等。 但对于高频交流电,电路中的自感和电容效应将使得电路中电流与电压不仅与时间 有关,而且与空间位置有关。 所以,对于高频传输线,我们要讨论传输线上电压与电流随时空的变化规律。 也就是研究电压u(x,t)与电流i(x,t)所要满足的微分方程
1、问题描述 (三) 高频传输线电流电压 考虑双线传输线,把单位传输线所具有的导线电阻、线间电导、电容以及电感分别 记作R,g,c和L.建立电压u(x,t)和电流强度i(x,t)所满足的微分方程。 2、简要背景 对于直流电或低频交流电,同一支路的电流相等。 但对于高频交流电,电路中的自感和电容效应将使得电路中电流与电压不仅与时间 有关,而且与空间位置有关。 所以,对于高频传输线,我们要讨论传输线上电压与电流随时空的变化规律。 也就是研究电压 u(x,t)与电流i(x,t)所要满足的微分方程
3、方程推导 传输线上电阻、电感,线间电容、电导考虑为均匀分布,于是可画出微元等效电 路图: x+dx ()电压增量【克希荷夫回路电压定律】 u(x,t)-u(x+dx,t)=Ridx+Ldxi,......(1) (2)电流增量【克希荷夫节点电流定律】 i(x,t)-i(x+dx,t)=Cdxu,+gdxu...(2)
3、方程推导 传输线上电阻、电感,线间电容、电导考虑为均匀分布,于是可画出微元等效电 路图: i (1) 电压增量【克希荷夫回路电压定律】 ( , ) ( , ) (1) u x t u x dx t Ridx Ldxi t (2) 电流增量【克希荷夫节点电流定律】 ( , ) ( , ) (2) t i x t i x dx t Cdxu gdxu