习题9.4任意项级数 1.讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛) (0∑py n 6∑-yn (6)∑ n CoS (7)∑(-1)14”sin2nx in(n+D) cos(n-D) (8 n 9)∑(-1) (3n-2)3n+2) (1D 解(1)设级数1-1+1-1+1-…的部分和数列为Sn},则 S FI k=12k-1k=1(2k)! 由于级数∑收敛 发散,所以limS2n=+∞,因此级数 2 发散 2)级数∑((x≠-m)当n充分大(即n+x>0)时是交错级 数,且{}单调减少趋于零,所以∑”(x≠-n)收敛:又由 于m+x1(→叫,∑发散,所以级数∑(1(x≠-n)条件 收敛习 题 9.4 任意项级数 1. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛) ⑴ 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 …; ⑵ ∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）； ⑶ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n n ; ⑸ ∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 1 2 1 4 sin ( 1) n n n n n x ; ⑻ ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x ; ⑼ n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) ; ⑽ ∑ ∞ = + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 1 (3 2)(3 2) 1 ln 2 ( 1) n n n n n ; ⑾ ∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ; ⑿ ∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n ( a > 0 ). 解（1）设级数 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 …的部分和数列为{Sn }，则 ∑ ∑ = = − − = n k n k n k k S 1 1 2 (2 )! 1 2 1 1 ， 由于级数 ∑ ∞ =1 (2 )! 1 n n 收敛， ∑ ∞ =1 2 −1 1 n n 发散，所以 = +∞ →∞ n n S2 lim ，因此级数 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 …发散。 （2）级数∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）当n充分大（即n + x > 0）时是交错级 数，且 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n + x 1 单调减少趋于零，所以∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）收敛；又由 于 n x n + − +1 ( 1) ～ n 1 (n → ∞), ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以级数∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ ≠ ）条件 收敛。 x − n 1