(3)当x=0时又(-1)sin的一般项都为零,所以级数绝对收敛 设x≠0,∑(-1)sin当n充分大(即n>型)时是交错级数,且 sin单调减少趋于零,所以∑(-sin2收敛;又由于(-1ysm 发散,所以级数∑-ysn2条件收敛 (4)lmy5=1,因此m不存在,所以∑发散。 n (5)∑-y是交错级数,当n≥28,单调减少趋于零,所以 级数∑(-y收敛:又由于∑”发散,所以级数∑-1yn条 件收敛。 (6)设∑csm的部分和数列为},则 n 23k-1√3k 由于y(-1 ∑(-)和∑(都是Lez级数,即都是收敛 2√3n-2m12√3n-1 的,所以imSn存在且有限。容易证明 lim Soni= lim Son+2=lim S6n+3= lim S6n+4=lim S6n+s = lim Son, n→ →)O n→)① n→① 由此可知级数∑=cos"收敛。 由于1c0≥n,∑,发散,所以级数∑1c0厘条件收 敛（3）当 x = 0时∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 的一般项都为零，所以级数绝对收敛。 设 x ≠ 0，∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 当n充分大（即 π x n 2 > ）时是交错级数，且 n x sin 单调减少趋于零，所以∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 收敛；又由于 n n x ( 1) sin +1 − ～ n x (n → ∞)，∑ ∞ n=1 n x 发散，所以级数∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 条件收敛。 （4） lim = 1 →∞ n n n ，因此 n n n n 1 ( 1) lim + →∞ − 不存在，所以∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n n 发散。 （5）∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 是交错级数，当n ≥ 8， n n 2 ln 单调减少趋于零，所以 级数∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 收敛；又由于 ∑ ∞ =2 2 ln n n n 发散，所以级数∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 条 件收敛。 （6）设∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 的部分和数列为{Sn }，则 S6n = ∑ = − − − n k k k 2 1 1 2 3 2 ( 1) ∑ = − − + n k k k 2 1 2 3 1 ( 1) ∑ = − + n k k k 2 1 3 ( 1) ， 由于 ∑ ∞ = − − − 1 1 2 3 2 ( 1) n n n ， ∑ ∞ = − − 1 2 3 1 ( 1) n n n 和 ∑ ∞ = − 1 3 ( 1) n n n 都是 Leibniz 级数，即都是收敛 的，所以 n存在且有限。容易证明 n S6 lim →∞ 6 1 lim + →∞ n n S 6 2 lim + →∞ = n n S 6 3 lim + →∞ = n n S 6 4 lim + →∞ = n n S 6 5 lim + →∞ = n n S n n S6 lim →∞ = ， 由此可知级数∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 收敛。 由于 n n n 2 1 3 cos 1 ≥ π ， ∑ ∞ =1 2 1 n n 发散，所以级数∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 条件收 敛。 2