例1一平面曲线上任一点的切线垂直于该点与原点的连线, 即其上任意一点的法线通过原点,试建立该曲线满足的方程 式;又若已知该曲线过点(1,2),求出该曲线方程。 解设所求曲线为y=y(x),其上任一点p(x,y)处的切线斜率 为y,而点p与原点的连线的斜率为,由题意应有 即 dyy dx 这就是所求曲线应满足的方程,它包含自变量x,未知函数 y及未知函数的导数 为求解方程(1.1),将(1.1)变形为 yy'=-x或(y2)=-(x2) 将(12)式两边积分得 x2+y2=C(C为任意常数) (1.3) 又已知曲线过点(1,2),即当x=1时y=2,代入(1,3)式得1+4=C, 于是所求曲线方程为 x+ 例2某缉私艇雷达发现距c海里处有一艘走私船正以匀速 度a沿直线行驶,缉私舰立即以最大的速度b追赶。若用雷 达进行跟踪,保持船的瞬时速度方向始终指向走私船,试求 缉私舰的追逐路线和追上时间。例 1 一平面曲线上任一点的切线垂直于该点与原点的连线， 即其上任意一点的法线通过原点，试建立该曲线满足的方程 式；又若已知该曲线过点(1,2)，求出该曲线方程。 解 设所求曲线为 y y x = ( ),其上任一点 p x y ( , ) 处的切线斜率 为 y ' ，而点 p 与原点的连线的斜率为 y x ，由题意应有 ' 1 y y x = − 即 dy y dx x = − (1.1) 这就是所求曲线应满足的方程，它包含自变量 x，未知函数 y 及未知函数的导数 dy dx 。 为求解方程(1.1)，将(1.1)变形为 2 2 yy x y x ' ' ( )' = − = − 或 ( ) (1.2) 将(1.2)式两边积分得 2 2 x y C C + = ( ) 为任意常数 . (1.3) 又已知曲线过点(1,2),即当 x=1 时 y=2,代入(1.3) 式得 1+4=C， 于是所求曲线方程为 2 2 x y + = 5 . 例 2 某缉私艇雷达发现距 c 海里处有一艘走私船正以匀速 度 a 沿直线行驶，缉私舰立即以最大的速度 b 追赶。若用雷 达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求 缉私舰的追逐路线和追上时间