令=∑q=∈V2,则 ∑kx+∑Py=-∈V2但EH∩V2 根据基扩定理∑kx∈H∩V2yEn2,;期y、2 yn-m成为Ⅵ的一个基 同理:q1=0k=0 这与假设矛盾,所以上述元素线性无关,可作为M+V的一个基。 dim(viVa)=ni+ n2-m 子空间的直和 1.定义:设V、V是线性空间V的子空间,若其和空间Ⅵ+V中的任一元素 只能唯一的表示为Ⅵ的一个元素与v的一个元素之和,即 vx∈V1+V2,存在唯一的y∈、z∈V2,使x=y+,则称V+V2 为佐与的直和,记为V⊕V2 子空间的直和并不是一种特殊的和,仍然是 VI+V2=x+ylxEV, yEV2) 反映的是两个子空间的关系特殊。 2.定理:如下四种表述等价 (1)V+V2成为直和VH2 (2)V∩v2=0} (3)dim(Vi+V2)=dimWit dimv2 (4)、2:X为Ⅵ的基,yy:y为的基,则X、X2:X令 i i 2 z q z V =   ，则 i i i i 2   k x p y z V + = −  但 V V 1 2 根据基扩定理 i i k x V V 1 2 i y V V 1 2 ， x1、x2、·、xm、y1、y2、·、 yn1－m成为 V1的一个基 0 i  = p 同理： 0 i q = 0 i k = 这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为 V1+V2的一个基。  dim(V1+V2)＝n1＋n2－m 三、子空间的直和 1. 定义：设 V1、V2是线性空间 V 的子空间，若其和空间 V1+V2中的任一元素 只 能 唯一 的表 示为 V1 的一 个 元素 与 V2 的 一个 元素 之和 ， 即 1 2   + x V V ，存在唯一的 1 y V 、 2 z V ，使 x y z = + ，则称 V V 1 2 + 为 V1与 V2的直和，记为 V V 1 2  子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是 V V x y x V y V 1 2 1 2 + = +    | , ， 反映的是两个子空间的关系特殊。 2. 定理：如下四种表述等价 （1） V V 1 2 + 成为直和 V V 1 2  （2） V V 1 2 =0 （3）dim(V1+V2)=dimV1+ dimV2 （4）x1、x2、·、xs为 V1的基，y1、y2、·、yt为 V2的基，则 x1、x2、·、xs