。1152 北京科技大学学报 第29卷 由上式可得颗粒粒径分布： 式中，M2(x)和M2分别为粒径不大于x的煤炭颗 -D 粒的表面积之和与煤炭颗粒系统的总表面积之和， N(di)=N(dk) d ,j,k=1,2,…(6) 联立式(10)可得 式中，N(d)为平均粒径为d的颗粒个数；N(dk) 「x D ad 'dN(x) D 为平均粒径为dk的颗粒个数. G2(x= D.D:d. D D-D 这样得到的颗粒粒径是间断配比的，而实际研 ad 'dN(x) 磨得到的颗粒粒径的配比是连续的.为此，把上述 min 模型推广到连续的情形，对上式微分可以得到粒径 (12) 1.3煤炭颗粒质量分布模型 位于区间(x,x十dx)内的颗粒的个数dN(x): dN(x)--N(dm)Ddx (7) 与上述两模型原理相同，得到煤炭颗粒质量分 布函数： 式中，dmx为破碎颗粒的最大粒径. kPx dN(x) 以式(7)为基础推导颗粒数分布模型、颗粒表 d yD一dmin 3-D G3x)= 面积分布模型、颗粒质量分布模型三种煤炭研磨过 kex'dN(x) =-d d max 程分形模型. 11煤炭颗粒数分布模型 (13) 定义煤炭的颗粒数分布函数G1(x)为： 式中，k为颗粒体积形状系数，与采用同一α原理相 Gi(x)=Mi(x) 同，整个煤炭颗粒系统采用同一k;P为煤炭颗粒的 (8) Mut 真密度 式中，M1(x)和M分别为粒径不大于x的煤炭颗 以上三个模型是针对煤炭颗粒的不同参数建立 粒的个数和煤炭颗粒系统的个数总和 的，其基本形式相同，可以统一为下式： M(x)=dNx)和M=JdN(x) Glx)=x"-dfoin (14) d dhax一d'hmin 联立式8)得： 式中，n为统一指数. x dN(x) 模型不同，n取值不同.从上式可以看出，煤炭 G1(x)= 一Di一dma -D d Di一dmm -D 9) 颗粒的三种分布均由煤炭颗粒的分形维数（由研磨 "dN(x) 概率和相似比决定)、最大粒度及最小粒度共同决 d 定.改变dmim可以得到研磨过程任一时刻的颗粒粒 式中，dmm为研磨到一定时间煤炭颗粒系统的最小 度分布情况. 粒径. 12煤炭颗粒表面积分布模型 2模型分析 煤炭颗粒的表面积主要由粒径、形状和表面分 2.1模型验证 形维数三个因素决定.不同成分煤炭颗粒的形状不 为了验证模型，在理论分析的指导下，对煤炭进 同.在煤炭的研磨过程中，这种形状并不随时间发 行研磨，得到了粒度分布维数为2.65的粒度分布. 生改变，即研磨后的小颗粒与研磨前大颗粒在形状 此时煤炭颗粒系统中最大粒径为300m,最小粒径 上具有一定程度的自相似性所以对整个煤炭颗粒 为1m. 系统采用同一形状系数.由于煤粒表面并非光滑而 将三种分形模型与实际研磨结果比较，结果如 是凹凸不平，所以其表面积的计算应引入表面分形 图1所示. 维数，这样所得结果更符合实际情况.考虑以上因 图1中，实线为按分形模型计算所得煤炭研磨 素，煤炭颗粒的表面积计算式为： 颗粒粒度分布曲线，虚线为实际研磨所得煤炭颗粒 s=adp. (10) 粒度分布曲线.模型与实际情况所得研磨结果吻合 式中，s为颗粒表面积；D:为颗粒表面分形维数， 较好，验证了本模型的正确性. D,<3:a为颗粒形状系数. 从图1可以看出：第一，从煤炭颗粒数分布曲 定义煤炭颗粒的表面积分布函数G2(x)为： 线，可以直观地观察到颗粒主要存在的粒度范围. G2(xj=42(x 但难于观察粒度稍大的颗粒的分布情况，且实验测 M21 (11) 定中颗粒个数难于确定.所以此模型仅适用于给出由上式可得颗粒粒径分布 : N( dj ) =N ( dk ) dj dk -Df , j, k =1, 2, … ( 6) 式中, N( dj) 为平均粒径为 dj 的颗粒个数 ;N ( dk ) 为平均粒径为 dk 的颗粒个数. 这样得到的颗粒粒径是间断配比的, 而实际研 磨得到的颗粒粒径的配比是连续的.为此, 把上述 模型推广到连续的情形, 对上式微分可以得到粒径 位于区间( x , x +dx ) 内的颗粒的个数 dN ( x ) : dN ( x ) =-N ( dma x) Dfd D f max x -( D f +1) d x ( 7) 式中, dmax为破碎颗粒的最大粒径. 以式( 7)为基础, 推导颗粒数分布模型、颗粒表 面积分布模型、颗粒质量分布模型三种煤炭研磨过 程分形模型. 1.1 煤炭颗粒数分布模型 定义煤炭的颗粒数分布函数 G1( x )为 : G1( x ) = M1( x ) M1t ( 8) 式中, M1( x )和 M1t分别为粒径不大于 x 的煤炭颗 粒的个数和煤炭颗粒系统的个数总和. 由 M1( x ) =∫ x d min d N( x )和 M1t =∫ d max d min d N( x ) 联立式( 8)得: G1( x ) = ∫ x d min d N( x ) ∫ d max d min d N( x ) = x -Df -d -Df min d -D f max -d -D f min ( 9) 式中, d min为研磨到一定时间煤炭颗粒系统的最小 粒径 . 1.2 煤炭颗粒表面积分布模型 煤炭颗粒的表面积主要由粒径、形状和表面分 形维数三个因素决定 .不同成分煤炭颗粒的形状不 同.在煤炭的研磨过程中, 这种形状并不随时间发 生改变, 即研磨后的小颗粒与研磨前大颗粒在形状 上具有一定程度的自相似性, 所以对整个煤炭颗粒 系统采用同一形状系数.由于煤粒表面并非光滑而 是凹凸不平, 所以其表面积的计算应引入表面分形 维数, 这样所得结果更符合实际情况.考虑以上因 素, 煤炭颗粒的表面积计算式为: s =αd Ds ( 10) 式中, s 为颗粒表面积;Ds 为颗粒表面分形维数, 2 <Ds <3 ;α为颗粒形状系数 . 定义煤炭颗粒的表面积分布函数 G2( x )为 : G2( x ) = M2( x ) M2t ( 11) 式中, M2( x ) 和 M2t分别为粒径不大于 x 的煤炭颗 粒的表面积之和与煤炭颗粒系统的总表面积之和. 联立式( 10)可得: G2( x ) =∫ x d min αd Ds dN ( x ) ∫ d max d min αd D s dN ( x ) = x D s -D f -d D s -D f d D s -D f max -d Ds-Df min ( 12) 1.3 煤炭颗粒质量分布模型 与上述两模型原理相同, 得到煤炭颗粒质量分 布函数 : G3( x ) =∫ x d min kρx 3 dN ( x ) ∫ d max d min kρx 3 dN ( x) = x 3-D f -d 3-Df min d 3-D f max -d 3-D f min ( 13) 式中, k 为颗粒体积形状系数, 与采用同一 α原理相 同, 整个煤炭颗粒系统采用同一 k ;ρ为煤炭颗粒的 真密度 . 以上三个模型是针对煤炭颗粒的不同参数建立 的, 其基本形式相同, 可以统一为下式 : G( x ) = x n -d n min d n max -d n min ( 14) 式中, n 为统一指数 . 模型不同, n 取值不同.从上式可以看出, 煤炭 颗粒的三种分布均由煤炭颗粒的分形维数(由研磨 概率和相似比决定) 、最大粒度及最小粒度共同决 定 .改变 dmin可以得到研磨过程任一时刻的颗粒粒 度分布情况 . 2 模型分析 2.1 模型验证 为了验证模型, 在理论分析的指导下, 对煤炭进 行研磨, 得到了粒度分布维数为 2.65 的粒度分布. 此时煤炭颗粒系统中最大粒径为 300 μm, 最小粒径 为1μm . 将三种分形模型与实际研磨结果比较, 结果如 图 1 所示. 图 1 中, 实线为按分形模型计算所得煤炭研磨 颗粒粒度分布曲线, 虚线为实际研磨所得煤炭颗粒 粒度分布曲线.模型与实际情况所得研磨结果吻合 较好, 验证了本模型的正确性. 从图 1 可以看出 :第一, 从煤炭颗粒数分布曲 线, 可以直观地观察到颗粒主要存在的粒度范围. 但难于观察粒度稍大的颗粒的分布情况, 且实验测 定中颗粒个数难于确定 .所以此模型仅适用于给出 · 1152 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷