例1计算∫xyda,其中D是由直线y=1、x=2及x=y所围成的闭区域 解法1首先画出积分区域D如图6-26所示.D是X-型区域,D可表示为 ≤y≤x,1≤x≤2 先对y、再对x积分,在对y积分时,把x看成常数,于是有 ∫xd-∫小=xyd 84 解法2如图6-27所示,积分区域是y型的,先对x、再对y积分,在对x积分 时,把y看成常数于是有 dy xydx dy 例2计算j(2x+y2)dd,其中D是由抛物线y2=x及直线y=x-2所围 成的区域 解画出积分区域D,如图6-28所示既是X-型的,也是Y型的,我们先 将它看成是Y-型的,先对x、再对y积分,积分区域为 ((, 2)ly2sxsy+2,-1sys2) ∫(2x+y)=∫小∫(2x+y)=x+yxyd 如果将看成D看成X-型区域,则需要将D分成D和D2两部分,如图6-29所示,例 1 计算 D xyd  ，其中 D 是由直线 y x = = 1 2 、 及 x y = 所围成的闭区域. 解法 1 首先画出积分区域 D ,如图 6-26 所示. D 是 X -型区域， D 可表示为 1  y x ， 1 2.  x 先对 y 、再对 x 积分，在对 y 积分时，把 x 看成常数，于是有 2 2 2 2 2 1 1 1 D y 2 y xyd dy xydx x y dy    = =         2 4 2 2 3 1 1 1 1 11 . 2 2 8 4 8 x x x x dx     = − = − =          解法 2 如图 6-27 所示，积分区域是 Y -型的，先对 x 、再对 y 积分，在对 x 积分 时，把 y 看成常数.于是有 2 2 2 2 2 1 1 1 D y 2 y xyd dy xydx x y dy    = =         2 4 2 3 2 1 1 1 1 2 1 . 2 8 8 y y y dy y     = − = − =          例 2 计算 ( ) 2 2 D x y dxdy +  ，其中 D 是由抛物线 2 y x = 及直线 y x = − 2 所围 成的区域. 解 画出积分区域 D ，如图 6-28 所示.既是 X -型的，也是 Y -型的，我们先 将它看成是 Y -型的，先对 x 、再对 y 积分，积分区域为 ( )  2 D x y y x y y =   + −   , 2, 1 2 . 且 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 y y y y D x y dxdy dy x y dx x y x dy + + − − + = + = +         ( ) ( ) 2 2 2 4 1 y y y y dy 2 2 2 − = + + + −      ( ) 2 3 4 3 5 1 1 1 2 2 2 3 4 3 5 y y y y −   = + + + −     11 17 . 20 = 如果将看成 D 看成 X -型区域，则需要将 D 分成 D1 和 D2 两部分，如图 6-29 所示