8 3 Optimal approximation >切比雪夫多项式/ Chebyshev polynomials 考虑三角函数cos(nO)在[0,x]上的n+1个极值点。 当θ4=-丌(k=0,…,n)时,cos(n)交错达到极大值1和极 n 小值-1,且存在系数ay…,an使得cos(n)=∑a(cos) 令x=c0s(0),则x∈[-1,1l Tn(x)=cos(n6)=cos(m; arc cosr)称为 Chebyshev多项式 今T的重要性质: a当4=cosz(k=0,,m)时,T()交错取到极大值1 和极小值-1,即T(t)=(-1)4T(x) 2k-1 a当x=c0s z(k=1,…,n)时T(xk)=0,即{x1…, 2 xn}为T(x)的n个零点。➢ 切比雪夫多项式 /* Chebyshev polynomials */ §3 Optimal Approximation 考虑三角函数 cos(n ) 在[ 0,  ] 上的 n + 1 个极值点。 当 时， cos(n )交错达到极大值 1 和极 小值 −1 ，且存在系数 a0 , …, an 使得 (k 0, 1, ... , n) n k  k =  = = = n k k n ak 0 cos(  ) (cos )  令 x = cos( ) ，则 x [ −1 , 1 ]。 T (x) cos(n ) cos(n·arc cos x) n =  = 称为Chebyshev多项式 ❖ Tn 的重要性质：  当 时， 交错取到极大值 1 和极小值−1，即 cos (k 0, 1, ... ,n) n k t k  =      =  ( ) n k T t = −  T (t ) ( 1) ||T (x)|| n k n k 1  当 时 ，即 {x1 , …, xn } 为Tn (x)的n个零点。( 1, ... , ) 2 2 1 cos k n n k xk  =      − =  Tn (xk ) = 0