第十二章重积分 柱坐标系: pdp adz=: √/√1-x2-x2 直角坐标系:1=∫ajh Ed - t √/-√2-x2x2+y2 先对xy积分 1=ad==x+上=x-)k= 0D(=) 8 例十,设∫:gcR3→R,f∈C(2) Q是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域, 且A=Ma((PP∈S),vP∈91a川≤M, 证明:=/(xy=h≤A4+4M 其中,;V是域Ω的体积,P∈Ω,彐P∈S。 证:f(x,y,z)=f(P)+ af(p) ∂(x,y, f(r, y,=]d=[ 10)+er(p (x,y=) ≤[4+ ≤A+M「(R-)h x2+y2+2sR2 MR <AV+ =VIA+ 即:/。1 R yxy≤4+4M 例十一,求半径为R密度为常数p0的球体 所产生的引力场 第十二章重积分第十二章 重积分 第十二章 重积分 柱坐标系:    − = = 2 2 2 1 0 2 0 8     I d  d zdz ; 直角坐标系:    − − + − − − − = = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 8 x y x y x x I dx dy zdz  先对 xy 积分: ( ) ( ) 8 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0  = =  +  − =     D z I dz dxdy z z dz z z dz 例十， 设   R → R+ f 3 : ,  () 1 f C ,  是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 A = Max(f (P)PS), P, grad f  M , 证明： ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中，； V 是域  的体积， P , P0  S 。 证： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , 0 PP r x y z f P f x y z f P    = +  ; ( ) ( ) ( ) ( )               = + r dv x y z f P f x y z dv f P PP0 , , , , 0   ( )    A+ grad f r dv PP0  ( )  + +    + −  2 2 2 2 x y z R A V M R r dv        + = + 3 4 4 M R V A MR AV  ; 即: ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   . 例十一，求半径为 R 密度为常数  0 的球体, 所产生的引力场