则称向量a,凸，.，a,线性相关，否则称4,4，.，,线性相关换言之若(3)成立必有 k=k3=.=k,-0.则称a4,马，.a,线性相关 以上概念与n维向量空间中的相应概念完全相同只不过研究的对象由维向量变成了抽象的一 般向量罢了维向量空间中与这些概念相关的性质的证明在一般线性空间中仍然成立，这里不再重复 论证，只给出几个常用的结论如下 1,单个向量α线性相关一口=0.两个以上向量线性相关一其中有一个向量是其余向量的线 性组合， 2.若4,42，.，a,线性无关，且可被月.f线性表出，则r≤3由此推出，两个等价的线性无关 的向量组，所含向量的个数必相同 3.若4,42，.，a,线性无关，但a,%2,.,a,B线性相关则B必可被a,a.,g,线性表出，且 表法唯一 定义5若线性空间V中有个线性无关的向量，但没有更多数目的线性无关的向量，则称'为n维的 记为dimV=n,若V中存在任意多个线性无关的向量：则称V为无限维的. 由定义5易知.P”是n维的.所有实系数多项式所成的实线性空间是无限维的这是因为对任意的自然 数n,由多项式相等的定义知， 都是线性无关的本书仅讨论有限维线性空间。 定义6设V是P上n维线性空间，则V中任意n个线性无关的B,B,.,Bn向量均称为V的 组基 则定义5可知，若月，.，Bn是V的一组恭，则对VaeV,月，.，Bn,a必线性相关，再由3可知，a 可由，.，B唯一地线性表出 定义7设B,.,阝n是线性空间V的一组基a∈V.且 a=ka+ka+.+ka 则称（化，k,.,k)为α在基月，.，Bn下的坐标 定理1若线性空间V中有个线性无关的向量B,.,B。,且V中任一向量均可由它们线性表出， 则V是n维的，并且,.,Bn就是V的一组基 例1以P[n表示P上所有次数不超过n-1的多项式所成线性空间，则1，x,x2,.,x一是P[xn 中n个线性无关的向量，且fx)=a+a,x++anx∈P[xn均可由它们线性表出.则称向量 1 2 , , ,   r 线性相关,否则称 1 2 , , ,   r 线性相关.换言之.若(3)成立必有 1 2 0 r k k k = = = = .则称 1 2 , ,   r 线性相关. 以上概念与 n 维向量空间中的相应概念完全相同.只不过研究的对象由 n 维向量变成了抽象的一 般向量罢了.维向量空间中与这些概念相关的性质的证明.在一般线性空间中仍然成立,这里不再重复 论证,只给出几个常用的结论如下: 1. 单个向量  线性相关  =  0.两个以上向量线性相关  其中有一个向量是其余向量的线 性组合. 2. 若 1 2 , , ,   r 线性无关,且可被 1 , ,  s 线性表出,则 r s  由此推出,两个等价的线性无关 的向量组,所含向量的个数必相同. 3. 若 1 2 , , ,   r 线性无关,但 1 2 , , , ,    r 线性相关.则  必可被 1 2 , , ,   r 线性表出,且 表法唯一. 定义 5 若线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量,但没有更多数目的线性无关的向量,则称 V 为 n 维的 记为 dimV n = ,若 V 中存在任意多个线性无关的向量;则称 V 为无限维的. 由定义 5 易知. n P 是 n 维的.所有实系数多项式所成的实线性空间是无限维的.这是因为对任意的自然 数 n,由多项式相等的定义知, 1 1, , , n x x − 都是线性无关的.本书仅讨论有限维线性空间. 定义 6 设 V 是 P 上 n 维线性空间,则 V 中任意 n 个线性无关的 1 2 , , ,   n 向量均称为 V 的一 组基. 则定义 5 可知,若 1 , ,  n 是 V 的一组基,则对   V, 1 , , ,   n 必线性相关,再由 3 可知, 可由 1 , ,  n 唯一地线性表出. 定义 7 设 1 , ,  n 是线性空间 V 的一组基. V. 且 1 1 2 2 n n     = + + + k k k 则称 1 2 ( , , , ) n k k k 为  在基 1 , ,  n 下的坐标. 定理 1 若线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 1 , ,  n ,且 V 中任一向量均可由它们线性表出, 则 V 是 n 维的,并且 1 , ,  n 就是 V 的一组基 例1 以  n P x 表示 P 上所有次数不超过 n−1 的多项式所成线性空间,则 2 1 1, , , , n x x x − 是  n P x 中 n个线性无关的向量,且 ( ) 0 1 1   n n n f x a a x a x P x  = + + +  − 均可由它们线性表出