§16.1多于两个自变量的定 X(0)=0,X(a)=0 ★当μ=0时,常微分方程的通解是 X(r)=Aoz+ Bo 代入(齐次)边界条件,得 A0=0,Bo任意 这说明入=0是一个本征值,本征函数可取为 X(x)=1 和前两节不同的的是这里的μ=0是本征值,这是因为当μ=0时,本征值问题有非零 解X(x)=B0,B0是任意常数 ★当μ≠0时,常徵分方程的通解是 X(x)= Asin y√x+Bcos√x 代入(齐次)边界条件,又得到 所 本征值=(a) n=1,2,3 本征函数Xn(x)=cos-x 把μ=0和μ>0的结果合并起来,就可以统一写成 本征值 0,1,2,3 本征函数 同样可以解得关于Y(y)的本征值问题 0)=0,Y(b) 的解为 本征值 ()m=0123 本征函数 mt Ym(a)=cosbyWu Chong-shi §16.1 ❩❬❭❪ ❫❴❵❛❜❝❞❡ ❢ 2 ❣ X0 (0) = 0, X0 (a) = 0 F ❤ µ = 0 ✭✛✳✐✥✣✤✰❥❦✬ X(x) = A0x + B0. ✜✢ (❧♠) ✸✹✺✻✛✩ A0 = 0, B0♥♦. ❃♣ q λ = 0 ✬❁●rst✛ rs✉✴✽✈✇ X(x) = 1. ①②③ ④⑤ ⑥⑦⑦⑧⑨⑩⑦ µ = 0 ⑧❶❷❸✛⑨⑧ ❹❺ ❻ µ = 0 ❼✛❶❷❸ ❽❾❿ ➀➁ ➂ X(x) = B0, B0 ⑧➃➄➅➆✵ F ❤ µ 6= 0 ✭✛✳✐✥✣✤✰❥❦✬ X(x) = A sin √ µx + B cos √ µx. ✜✢ (❧♠) ✸✹✺✻✛◗✩❘ A = 0, √ µ sin √ µa = 0. ➇➈✛ √ µa = nπ ✛➉ rst µn = nπ a 2 , n = 1, 2, 3, · · · rs✉✴ Xn(x) = cos nπ a x. ➊ µ = 0 ❈ µ > 0 ✰➋➌➍➎➏➐✛➑✽➈➒❁➓➔ rst µn = nπ a 2 , n = 0, 1, 2, 3, · · · , rs✉✴ Xn(x) = cos nπ a x. ✶→✽➈ ❦ ✩➣↔ Y (y) ✰ rst↕➙ Y 00(y) + νY (y) = 0 Y 0 (0) = 0, Y 0 (b) = 0 ✰❦✇ rst νm = mπ b 2 , m = 0, 1, 2, 3, · · ·, rs✉✴ Ym(x) = cos mπ b y