记四=四},圆m=2,则得到{x}的两个子列{x}与{x}, 它们收敛于不同的极限。 10.若数列{xn}无界,但非无穷大量,则必存在两个子列{xm}与 xa},其中{xa}是无穷大量,{xa}是收敛子列 证由于数列{xn}不是无穷大量,所以丑M>0,使得数列{xn}中有无 穷多项满足||≤M,于是从中可以取出数列{xn}的一个收敛子列 xm}。又由于数列{xn}无界,所以对vG>0,数列{xn}中必有无 穷多项满足n|>G。 取G2=1,则3n,使得n}>G1, 取G2=2,则3n2>n,使得x|>G2 取G4=k,则3n>n,使得x}>Gn 记园}={2},{mn}=y2),则得到{xn}的两个子列{xn}与{x}, 其中(x}是无穷大量,{x}是收敛子列。 1l.设S是非空有上界的数集,supS=a百S。证明在数集S中可取 出严格单调增加的数列{x},使得 lim x=a 证由supS=aS,可知vE>0,3x∈S,使得a-E<x<a。 先取61=1,则∈S,使得a-5<x<a;对a2=mm2,a-x}>0, 则彐x2∈S,使得a-s2<x2<a,其中x1=a-(a-x1)≤a-2<x2;对 e3=min{,a-x2}>0,则3x3∈S,使得a-s3<x3<a,其中 x2=a-(a-x2)≤a-E3<x3; 对En=min(,a-xn1}>0,则彐xn∈S, 使得a-n<xn<a,其中xn1=a-(a-xn1)≤a-sn<xn;……由此在数 31记{ } { } (1) "k k n = n ，{ } { } (2) "k k m = n ，则得到｛ ｝的两个子列{ }与{ }， 它们收敛于不同的极限。 xn (1) k n x ( 2) k n x 10. 若数列{ }无界，但非无穷大量，则必存在两个子列{ }与 { }，其中｛ ｝是无穷大量，｛ ｝是收敛子列。 xn (1) k n x ( 2) k n x (1) k n x ( 2) k n x 证 由于数列{ xn }不是无穷大量，所以∃M > 0，使得数列{ }中有无 穷多项满足 xn xn ≤ M ，于是从中可以取出数列{ }的一个收敛子列 { }。又由于数列{ }无界，所以对 xn mk x xn ∀G > 0，数列{ }中必有无 穷多项满足 xn xn > G 。 取G1 = 1，则∃n1，使得 1 G1 xn > ， 取G2 = 2，则∃n2 > n1，使得 2 2 xn > G ， "", 取Gk = k ，则∃nk > nk−1，使得 n Gk x k > ， "". 记{ } { } (1) k k n = n ，{ } { } (2) k k m = n ，则得到｛ xn ｝的两个子列{ xnk (1) }与{ xnk ( 2) }， 其中｛ xnk (1) ｝是无穷大量，｛ xnk ( 2) ｝是收敛子列。 11. 设S 是非空有上界的数集，sup S = a ∈ S 。证明在数集S 中可取 出严格单调增加的数列{ xn }，使得lim n→∞ xn = a 。 证 由sup S =a ∈ S ，可知∀ε > 0，∃x ∈ S ，使得a − ε < x < a。 先取 1 ε 1 = ，则∃x1 ∈ S ，使得a − < x < a 1 1 ε ；对 , } 0 2 1 min{ ε 2 = a − x1 > ， 则∃x2 ∈ S ，使得a − < x < a 2 2 ε ，其中 1 1 2 2 x = a − (a − x ) ≤ a − ε < x ；对 , } 0 3 1 min{ ε 3 = a − x2 > ，则∃x3 ∈ S ，使得a − ε 3 < x3 < a ，其中 2 2 3 3 x = a − (a − x ) ≤ a − ε < x ；""； 对 , } 0 1 min{ n = a − xn−1 > n ε ，则∃xn ∈ S ， 使得a − ε n < xn < a ，其中 n n n n x = a − a − x ≤ a − < x − − ( ) ε 1 1 ；""D由此在数 31