可知数列{x2m}单调减少有下界,数列{x2n}单调增加有上界,从而都 收敛。 设limx2n=a,imxn1=b,对等式 与 两 5+2 端求极限,得到方程α=2+a与b=2+b,解此两方程,得到解 a=√2-1与b=√2-1(另两解a=-√2-1与b=-√2-1舍去),因此 lin 8.设{xn}是一单调数列,证明 lim x=a的充分必要条件是:存在 月→ (xn}的子列{xn}满足 lim x=a。 证必要性显然,现证充分性。不妨设{xn}单调增加,imxn=a, 则vE>0,3k,Mk>K:-E<x2-a≤0。取N=nk1,Wn>N 彐M>K+1,使得nk+<n<n,于是-E<xm-a≤xn1-asxm-a≤0, 因此imxn=a 9.若有界数列{xn}不收敛,则必存在两个子列{xm}与{x2}收敛 于不同的极限,即mx2=a,mmx=b,a≠b 证由于{x}不收敛,所以彐0>0,WN,彐m>n>N:mx2E0° 取N1=1,彐m1>n1>N1 取N2=m,彐m2>n2>N2:m2一xn260 取Nk=mk=1,3m>nk>N 于是得到{x}的两个子列{xn}与{xn},它们都是有界数列。 首先{xn}具有收敛子列{xn},由于对应的{xm,}也是有界数列, 又具有收敛子列{xn,}。可知数列{x2n−1}单调减少有下界，数列{x2n }单调增加有上界，从而都 收敛。 设lim = ， ，对等式 n→∞ n x2 a lim n→∞ x2n−1 = b x2n+1 = 2 1 2 1 5 2 2 − − + + n n x x 与 x2n+2 = n n x x 2 2 5 2 2 + + 两 端求极限，得到方程 a a a 5 2 2 + + = 与 b b b 5 2 2 + + = ，解此两方程，得到解 a = 2 −1与b = 2 −1（另两解a = − 2 −1与b = − 2 −1舍去），因此 lim = 2 −1 →∞ n n x 。 8. 设｛ ｝是一单调数列，证明 = 的充分必要条件是：存在 ｛ ｝的子列{ }满足 xn lim n→∞ xn a xn xnk lim k→∞ xnk = a 。 证 必要性显然，现证充分性。不妨设｛ xn ｝单调增加，lim ， k→∞ xnk = a 则∀ε > 0，∃K ，∀k > K ：− < x − a ≤ 0 nk ε 。 取 = K+1 N n ，∀n > N ， ∃M > K +1 ，使得nK+1 < n < nM ，于是 0 1 − < − ≤ − ≤ − ≤ + x a x a x a nK n nM ε ， 因此lim =a。 n→∞ xn 9. 若有界数列｛ ｝不收敛，则必存在两个子列{ }与{ }收敛 于不同的极限，即 = ， = b， ≠b。 xn (1) k n x ( 2) k n x lim k→∞ (1) k n x a lim k→∞ ( 2) k n x a 证 由于｛ xn ｝不收敛，所以∃ε 0 > 0，∀N ，∃m > n > N ： 0 − ≥ ε m n x x 。 取 N1 = 1，∃m1 > n1 > N1： 0 1 1 − ≥ ε m n x x ， 取 N2 = m1，∃m2 > n2 > N2： 2 2 0 − ≥ ε m n x x ， "", 取 Nk = mk−1，∃mk > nk > Nk ： 0 − ≥ ε mk nk x x ， "". 于是得到｛ ｝的两个子列｛ ｝与｛ ｝，它们都是有界数列。 首先｛ ｝具有收敛子列｛ ｝，由于对应的｛ ｝也是有界数列， 又具有收敛子列｛ ｝。 xn nk x mk x nk x ' nk x ' mk x " mk x 30