为a与b的算术几何平均; (])若x=x+y,期、yn(n=123…),证明{xn},{yn} t y 收敛,且 lim x= lim y。这个公共极限称为a与b的算术调和 平均 证(1)首先易知,有xn≤yn由xm-xn=xn(√yn-√xn)20,ym-yn 2(xn-yn)s0,得到asx<xm<m<sb,即n}是单调增加有上 界的数列,n}是单调减少有下界的数列,所以它们收敛。设imxn=x, imyn=y,对yn=x的两端求极限,得到 (2)首先易知当n≥2时,有x≥yn。由xn1-xn=(0yn-xn)≤0, yn-yn=Mxn-y)≥0,得到当n≥2时, xn + yn a+b5ym<x<≤Q+b,即bn}是单调增加有上界的数列,ln} 2 是单调减少有下界的数列,所以它们收敛。设 lim x=x, lim y=y 对xn1=+y的两端求极限,得到x=y (n=1,2,3…),证明数列{x,}收敛,并 求极限limx。 解当0<x 时,有 1;当x,>√2-1时,有 由于 得到 > 1,0<x2n<√2-1。于是由 2(x 0 5+ 2+ 2(x2n-√2+1)(x2n+√2+1)为a与b 的算术几何平均； (2) 若 x = n+1 x y n n + 2 , y = n+1 2x y x y n n n n + （n = 1 2, ,3,"），证明｛ ｝,{ } 收敛，且 = 。这个公共极限称为 与 的算术调和 平均。 xn yn lim n→∞ xn lim n→∞ yn a b 证（1）首先易知∀n，有 xn ≤ yn 。由 xn+1 − xn = xn ( yn − xn ) ≥ 0，n n y − y +1 ( ) 0 2 1 = xn − yn ≤ ，得到a ≤ xn < xn+1 < yn+1 < yn ≤ b，即{xn }是单调增加有上 界的数列，{ 是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设 ， ，对 = yn } lim n→∞ x x n = lim n→∞ y y n = yn+1 x y n + 2 n 的两端求极限，得到 x = y 。 （2）首先易知当 n ≥ 2时，有 xn ≥ yn 。由 n n x − x +1 ( ) 0 2 1 = yn − xn ≤ ， n n y − y +1 0 ( ) ≥ + − = n n n n n x y y x y ，得到当n ≥ 2时， 2 2 1 1 a b y y x x a b ab n n n n + ≤ < < < ≤ + + + ，即{yn }是单调增加有上界的数列，{ } 是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设 n x lim n→∞ x x n = ， ， 对 = lim n→∞ y y n = n+1 x x y n + 2 n 的两端求极限，得到 x = y 。 7. 设 x = 1 2 , x = n+1 1 2 + xn （n = 1 2, ,3,"），证明数列｛ ｝收敛，并 求极限 。 xn lim n→∞ xn 解 当0 < xn < 2 −1时，有 xn+1 > 2 −1；当 xn > 2 −1时，有 0 < xn+1 < 2 −1。 由于 x1 = 2 > 2 −1，得到∀n， x2n+1 > 2 −1，0 < x2n < 2 −1。于是由 x2n+1 − x2n−1 = − = + + − − − 2 1 2 1 2 1 5 2 2 n n n x x x 0 5 2( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1 2 1 < + − − + + + − − − n n n x x x ， x2n+2 − x2n = − = + + n n n x x x 2 2 2 5 2 2 0 5 2( 2 1)( 2 1) 2 2 2 > + − − + + + n n n x x x ， 29