lim 解对x=1,易知Ⅶ,xn>0,且当n≥2时,xn≥√2。由 xn-xn=x+1≤0,可知数列{xn}单调减少有下界,所以收敛。设 lim x=a,对等式x 两端求极限,得到a=(a 解得 √2舍去),因此 lim 易知 ≤-√2。由x ≥0,可知数 列n}单调增加有上界,所以收敛。设lmx,=b,对等式sm2(x+ H→① 两端求极限,得到b=1(b+2),解得b=-(b=2舍去),因此 lim x 5.设 b (n=12,3…),求lim 解首先利用递推公式xm-xn,=-1(xn-xn),得到数列{n1-x)的通 项公式 (b-a)。于是由 xn=x1+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xn-xn=1)=a+( 得到 +2b lir 6.给定0<a<b,令x1=a,y1=b。 (1)若xn=√xnyn,y x +yn(n=123 2 证明{xn},{yn}收敛,且 lim x= lim y。这个公共极限称lim n→∞ xn 。 解 对 x1 =1，易知∀n， xn > 0，且当n ≥ 2时， xn ≥ 2 。由 0 1 2 +1 − = − + ≤ n n n n x x x x ，可知数列{xn }单调减少有下界，所以收敛。设 xn a，对等式 = n = →∞ lim xn+1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 两端求极限，得到 ) 2 ( 2 1 a a = a + ，解得 a = 2 （a = − 2 舍去），因此 lim n→∞ xn = 2 。 对 x1 = −2 ，易知∀n， xn ≤ − 2 。由 0 1 2 +1 − = − + ≥ n n n n x x x x ，可知数 列{xn }单调增加有上界，所以收敛。设 x b n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 两端求极限，得到 ) 2 ( 2 1 b b = b + ，解得b = − 2 （b = 2 舍去），因此 lim n→∞ xn = − 2 。 5. 设 x = a , = b , 1 x2 x x x n n n + + = + 2 1 2 （n = 1 2, ,3,"），求lim 。 n→∞ xn 解 首先利用递推公式 ( ) 2 1 n+1 − n = − n − n−1 x x x x ，得到数列{ }的通 项公式 n n x − x +1 ( ) 2 1 1 1 x x b a n n n ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − + 。于是由 ( ) ( ) ( ) n = 1 + 2 − 1 + 3 − 2 + + n − n−1 x x x x x x " x x ∑ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − − 1 0 2 1 ( ) n k k a b a ， 得到 lim n→∞ xn 3 a + 2b = 。 6. 给定 0＜a ＜b，令 x1 = a , y1 = b。 (1) 若 x = n+1 x yn n ， yn+1 = x y n + n 2 （n = 1 2, ,3,"）， 证明｛ xn ｝，｛ yn｝收敛，且lim = 。这个公共极限称 n→∞ xn lim n→∞ yn 28