limx=1 3.利用递推公式与单调有界数列的性质,证明: 234 n+1 0 (2)lim 3)lim=0。 证(1)设x,=2.3.4…m+1,则x,>0,=n+2<1,所以{n}是 2n+1 2n+3 n+2 单调减少有下界的数列,因此收敛。设lmxn=a,对等式xn2m+3 两端求极限,得到a=a,于是a=0,因此 (2)设x∥,则xn>0,且当n>a时,xa<1,所以{xn}从 某一项开始是单调减少有下界的数列,因此收敛。设lmxn=x,对等 式 x两端求极限,得到x=0,因此 lin (3)设x=m,则x,>0,五={1+1)>1,所以是单调减少有 下界的数列,因此收效,设一0,对等式x=(m两求极 限,得到a=ea,于是a=0,因此 lim 4.设x2(x+2|,n=123…,分x1=1与 x1=-2两种情况求lim = 1 →∞ n n x 。 3. 利用递推公式与单调有界数列的性质，证明： (1) lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n ； (2) lim n→∞ a n n ! = 0 ( a＞1)； (3) n→∞ lim 0 ! = n n n 。 证 （1）设 2 1 1 7 4 5 3 3 2 + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n n xn " ，则 xn > 0， 1 2 3 1 2 < + + = + n n x x n n ，所以 是 单调减少有下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= n x n n 2 3 2 + + 两端求极限，得到a a 2 1 = ，于是a = 0，因此 lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n 。 （2）设 n! a x n n = ，则 xn > 0，且当n > a 时， 1 1 1 < + = + n a x x n n ，所以 从 某一项开始是单调减少有下界的数列，因此收敛。设 ，对等 式 = { }n x x x n n = →∞ lim xn+1 n x n a +1 两端求极限，得到 x = 0，因此 lim n→∞ a n n ! = 0。 （3）设 n n n n x ! = ，则 xn > 0， 1 1 1 1 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + n n n x n x ，所以 是单调减少有 下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 1 1 1 ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n n n x n x 两端求极 限，得到a = ea，于是a = 0，因此 lim n→∞ a n n ! = 0。 4. 设 xn+1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 , n = 1 2, ,3," ，分 x1 = 1 与 2 x1 = − 两种情况求 27