Methods ofMathematical Physics(2016.10) Chapter 7 Fourier tra LMa@ Phys. FDU f(x-5)+5f(x-5)er-ikdx 2r f(u)e -ikee -kudu=e-f(k) 证明位移定理 f(x)e ∫f(xk-"-h 3人(x)c+dx=f(k+A) (6)卷积定理( Convolution Theorem,两对 Fourier换式的卷积) f()(x-.A54(k)(k) f(x)(x)(m)(-m)n 证明 f()2(x-5)d5 2z-√2 5Of(x-5ds e""dr f2(x-s)e dx x-5=a V2r JS(uJe"kdu f(k),(k) 说明:对于变换∫()<f(o),将上面性质中凡是出现±i的地方均变为干i (正常因果律) 3.多重 Fourier变换:二重 Fourier变换: f(x,y)= f(k,, k,)e"+ka dk,dk (4,k)=/、1 J-a f(x, v)e-i(+ka)dxdyMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 8 1 ( ) ( ) d 2 1 ( ) d ( ). 2 ikx ik iku ik f x f x e x f u e e u e f k        − −  − − − − −  − = =   证明位移定理： ( ) 1 ( ) ( ) d 2 1 ( ) d ( ). 2 i x i x ikx i k x f x e f x e e x f x e x f k        − − − −  − + −  = = +   （6） 卷积定理(Convolution Theorem，两对 Fourier 换式的卷积)： ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( )d 2 1 1 2 1 2 f f x −  f k f k   −     .   −   −   ( )d ~ ( ) ~ 2 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 f x f x f f k . 证明： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( )d ( ) ( )d d 2 2 2 1 1 ( ) ( ) d d 2 2 1 1 ( ) d ( ) d 2 2 ( ) ( ). ikx ikx x u ik iku f f x f f x e x f f x e x f e f u e u f k f k                        − − − −   − − − − =   − − − −   −  −       = −     =  =        说明：对于变换 ( ) ~ f (t)  f  ，将上面性质中凡是出现  i 的地方均变为  i . （正常因果律） 3. 多重 Fourier 变换：二重 Fourier 变换： ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ( , ) ( , ) d d ; 2 1 ( , ) ( , ) d d . 2 i k x k y i k x k y f x y f k k e k k f k k f x y e x y     + − −   − + − −     =          =          