Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 7 Fourier tra YLMa@ Phys. FDU 证明:fa)→ ax)e- dx=az f(e ads (3)求导定理 若fm( 0,(m=0,1,2,…,n-1),则 "(x)>(k)f(k),(n= 若f(k)=0,(m=012…n-1),则 (-ax)"f(x)4f(k,(n=1,2,3,) /(x)<5r'(x)"kdr=5"rdf(x) 证明 (x+k=(x)-dx=()(6) 相似地,利用归纳法可以证明更高阶导数定理。 (4)积分定理 若[f(d5=0,则['f(9m(k) 若”()n=0.则-()→∫)d 证明:记叭x)=「f(5)d5, 因为∫_f(5)d5=0,所以o(x),=0,因此由导数定理 p(x) ).又因为 f(5)d5,φ(x)=g'(x)f(g(x))-h(x)f(h(x), 可得φ(x)=f(x)(>f(k) 所以有o(k) ∫(k) 即f(5)d54>f(k) (5)延迟定理:f(x-5)台ef(k) 位移定理:f(x)k>f(k+2) 证明延迟定理:Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 7 证明： 1 1 1 1 ( ) ( ) d ( ) d 2 2 k i ikx a k f ax f ax e x f e f a a a        − − − −    = =       . （3）求导定理： 若 ( ) ( ) 0, ( 0,1,2, , 1) m x f x m n → = = − ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1,2,3, ). n n f x ik f k n  = 若 ( ) ( ) 0, ( 0,1,2, , 1), m k f k m n → = = − 则 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1,2,3, ). n n −  = ix f x f k n 证明： ( ) 1 1 ( ) ( ) d d ( ) 2 2 1 ( ) ( ) d ( ). 2 ikx ikx x ikx ikx f x f x e x e f x f x e ik f x e x ik f k      − − − =−   − − − −    = = + =    相似地，利用归纳法可以证明更高阶导数定理。 （4）积分定理： 若 f ( )d 0    − =  ，则 1 ( )d ( ) x f f k ik   −   . 若 f ( )d 0    − =  ，则 1 ( ) ( )d k f x f ix   −  −  . 证明：记 ( ) ( )d x    x f −   ， 因为 f ( )d 0    − =  ，所以 ( ) = 0 x→  x ，因此由导数定理： ( ) ~ (x)  ik k . 又因为 ( ) ( ) ( ) ( )d , g x h x    x f =   '( ) '( ) ( ( )) '( ) ( ( )), x g x f g x h x f h x = − 可得 ( ) ~ (x) = f (x)  f k . 所以有 ik f k k ( ) ~ ( ) ~ = , 即 1 ( )d ( ) x f f k ik   −   . （5） 延迟定理： f x e f (k ) ik ~ ( )    − − . 位移定理： ( )   + − f x e f k i ~ ( ) . 证明延迟定理：