Vol.26 No.1 廖福成等：控制熔体浓度三维稳定态方程的精确解 ·55· Cwya=三三cxn-a+ ing directional solidification [J].J Crys Growth,1987, ∫∫uco+"吧m-ba A39(5):2772 5 Karma A.Oscillatory instability of deep cells in directional solidification [J].Phys Rev A,1989,39(8):4162 3结论 6 Xu J J.Generalized needle solutions,interfacial instabili- ties,and pattern formation [J].Phys Rev E,1996,53(5): 本文应用分离变量法在复数域内得出了三 5031 维稳态下晶体生长控制熔体浓度的常系数方程 7 Xu JJ.Interface wave theory of solidification-dendritic 的解析解，对于非稳态下常系数方程和变系数方 pattern formation and selection of tip velocity [J].Phys 程还有待于进一步研究和探讨. RevA,1991,43:930 8 Xu JJ.Global instability of viscous fingering in a hele- 参考文献 shaw cell:formation of oscillatory fingers [J].Eur J Appl 1 Mullins WW,Sekerka R F.Morphological stability of a Math,1991,2:l05 particle growing by diffusion or heat flow []JAppl Phys, 9 Xu JJ.Interfacial wave theory for oscillatory fingers for- 1963,24:323 mation in a hele-shaw cell:a comparison with experi- 2 Pelce,Pumir A.Cell shape in directional solidification in ments [J].Eur J Appl Math,1996,7:169 the small peclet number limit [J].J Cryst Growth,1985, 10孙仁济，王自东，陈明文，等.铝合金晶体生长稳态 73:337 时的控制方程及解析解).中国有色金属学报， 3 Weeks J D,Van S W.Directional solidification cells with 2002,12(专辑1：2 grooves for a small partition coeffcient [J].Phys Rev A, 1】陈琛，郑连存，廖福成，等.二维稳态晶体生长控制 1989,39(5):2772 方程的分离变量求解.北京科技大学学报，2003， 4 Billia B,Jamgotchian H,Capella L.Pattern selection dur- 25(增刊)：4. Analytical Solution of Governing Equations for Three-dimension Steady State Crystal Growth LIAO Fucheng,ZU Cuie,ZHENG Liancun,WANG Zidong,LI Weidong", 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)Materials Science and Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A class of partial differential equations(PDE)which describe three-dimension steady state crystal growth for concentration were studied.Because there exists far-field condition,their exact solution or numerical solution can not be derived based on known results about PDE.By using variables separation in the complex num- ber field,the real analytical solution in the form of Fourier series was obtained.The result shows that the concen- tration in the solid-liquid interface is exponentially damped oscillation. KEY WORDS crystal growth;detached variable method;partial differential equation;Fourier series廖福 成等 控制 熔体 浓度三 维稳定态方 程 的精确 解 “ 一 叔 孙 一 卜 一 ， 喻卜 彻， 孚粤 一罕 一 华 一 、 结 论 本 文 应 用 分 离 变 量 法 在 复 数 域 内得 出 了三 维稳态 下 晶体 生 长 控 制 熔 体浓 度 的常 系 数 方程 的解 析解 对 于 非 稳 态 下 常系数方 程和 变 系数方 程 还 有 待 于 进 一 步研 究和 探 讨 参 考 文 献 ， 加 刀 ， ， ， 加 刀 ， ， 七 ， 、 恤 孚。 别 田 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 刀 ， ， 伽 一 ， ， 几 ， ， 注 一 刀 ， ， 孙仁 济 ， 王 自东 ， 陈 明文 ， 等 铝合 金 晶体 生 长 稳态 时 的控 制 方 程 及 解 析 解 田 中 国 有 色 金 属 学 报 ， ， 专辑 陈深 ， 郑连 存 ， 廖福成 ，等 二 维稳 态 晶体生 长 控 制 方程 的分 离变量 求解 田 北 京科技大学学报 ， ， 增 刊 一 八 乙期 馆 ，气 ，气 月万 ，气环 刀召 乃内心气 肠 馆 ，， ， 劝 ， ， ， ， ， 七 一 丘江 ， 切 ， 由 廿 一 对触 田 月贻