设∫在x0∈R的某一邻域内有定义的实值函数令 D+f(x=im f(xo+h)-f(xo) D-f(o)=lim tn)-/(xo) D(x)=1im(x+b)-/(x),D(x)=1m(x+)-/(x) h→0 (上述极限值均允许为±∞).分别称它们为∫在x0点的右上导数,左上导数,右下导数和 左下导数.从定义知道一般地成立 Df(x0)≥D,f(x0)2Df(x0)≥Df(x0) 显然∫在x0点可导当且仅当 Df(x)=D,f(x0)=Df(x0)=Df(x)≠±∞ 定理5设∫是定义在区间[a,b]上的单调增加的实值函数.则∫在[a,b]上几乎处处 可导.其导数f在[a,b]上 Lebesgue可积并且成立 f(x)dx≤f(b)-f(a (4) 证明我们先证明在(a,b)上几乎处处成立 Df=Df=Df=D-f 令E1={Df>D.1.则E=∪Df>r>S>D.f.其中Q为有理数集我们要 证明m'(E1)=0,为此只需证明对任意r,s∈9,m'({Df>P>s>D.f})=0.记 A={Df>r>s>Df}.对任意E>0,存在开集G→A使得m(G)<m'(A)+E.对 任意x∈A,由于Df(x)<S,故存在h>0使得[x-h,x]cG并且 f(x)-f(x-h 所有这样的区间[x-h,h构成了A的一个 natali覆盖由引理4,存在有限个互不相交的这 样的区间1=[x,-h,x11=1,…,n,使得m'(4-U1)<E.令B=A⌒U,则 m(A)sm(AnU/)+m(A-U/)<m(B) (7) 由(6)式我们有 ∑(f(x)-f(x-1)<S∑h<Sm()<s(m(A)+E) 对每个y∈B,由于Df(y)>r,故存在k>0,使得区间[y,y+k]包含在某个区间 135135 设 f 在 x0 ∈ 1 R 的某一邻域内有定义的实值函数. 令 , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x D f x h + − = → + + , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x D f x h + − = → − − , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x D f x h + − = → + + . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x D f x h + − = → − − (上述极限值均允许为 ± ∞ ). 分别称它们为 f 在 0 x 点的右上导数, 左上导数, 右下导数和 左下导数. 从定义知道一般地成立 ( ) ( ), ( ) ( ). 0 0 0 0 D f x D f x D f x D f x − − + + ≥ ≥ (3) 显然 f 在 0 x 点可导当且仅当 ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 = 0 = 0 = − 0 ≠ ±∞ − + + D f x D f x D f x D f x 定理 5 设 f 是定义在区间[a,b]上的单调增加的实值函数. 则 f 在[a,b]上几乎处处 可导. 其导数 f ′在[a,b]上 Lebesgue 可积并且成立 ( ) ( ) ( ). b a ∫ f ′ x dx f b f a ≤ − (4) 证明 我们先证明在(a,b)上几乎处处成立 D f D f D f D f . − − + + = = = (5) 令 { }. 1 E D f D f − + = > 则 { }. , 1 ∪ ∈Q − + = > > > r s E D f r s D f 其中Q 为有理数集. 我们要 证明 ( ) 0, 1 = ∗ m E 为此只需证明对任意 r,s ∈ Q , ({ > > > }) = 0. − ∗ + m D f r s D f 记 A {D f r s D f }. − + = > > > 对任意ε > 0, 存在开集G ⊃ A使得 ( ) < ( ) + ε. ∗ m G m A 对 任意 x ∈ A, 由于 D f (x) < s, − 故存在 h > 0使得[x − h, x] ⊂ G 并且 f (x) − f (x − h) < sh. (6) 所有这样的区间[x − h,h]构成了 A 的一个 Vatali 覆盖. 由引理 4, 存在有限个互不相交的这 样的区间 [ , ], i i i i I = x − h x i = 1,",n, 使得 ( ) . 1 − < ε = ∗ ∪ n i i m A I 令 , 1 ∪ D n i i B A I = = ∩ 则 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 ≤ ∩ + − < + ε ∗ = ∗ = ∗ ∗ m A m A I m A I m B n i i n i ∪ i ∪ D D (7) 由(6)式我们有 ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ). 1 1 − − < < < + ε ∗ = = ∑ f x f x h s∑h sm G s m A n i i n i i i i (8) 对每个 y ∈ B, 由于 D f ( y) > r, + 故存在 k > 0 , 使得区间[ y, y + k] 包含在某个区间 D i I