内并且 f(y+k)-f(y)>rk 所有这样的区间[y,y+k构成了B的一个 natali覆盖再次应用引理4,存在有限个互不相 交的这样的区间J=[y,y+k],1=1…,P,使得m'(B-∪J)<6.利用7)得 m(4)<m'(B)+≤m(B⌒UJ)+m(B-UJ7)+E m(∪UJ)+2 k+2E. 因此∑k>m(4)-2E.并且由于(9)我们有 ((,+k)-f()>∑k,>r(m(4)-2) 由于∫是单调增加的,并且每个J包含在某个L,中,因此我们有 ∑((x)-f(x,-h1)≥∑(f(,+k,)-f() (11) 结合(8)(10)和(1)得到 r(m'(A)-26)<s(m'(A)+E) 由于E>0的任意性得到m'(4A)≤sm'(A).由于r>s,故必有m'(4)=0.由此得到 m'(E1)=0.类似地,若令E2={Df>D,f},则可以证明m'(E2)=0.令 E=E1∪E2,则m'(E)=0.在(ab)-E上,我们有 Df≤Df≤Df≤Df≤D.f 因此在(a,b)-E上(5)成立.这表明极限 (x)=lim f(x+h)-f(x) 几乎处处存在(有限或±∞).当g(x)有限时,∫在x点可导.令 gn(x)=川f(x+)-f(x),n≥1 (其中定义当x>b时f(x)=f(b))则gn→gae.因此g是可测的.由于∫是单调增 加的,故gn≥0.我们有136 内并且 f ( y + k) − f ( y) > rk. (9) 所有这样的区间[ y, y + k] 构成了 B 的一个Vatali覆盖. 再次应用引理4, 存在有限个互不相 交的这样的区间 [ , ], i i i i J = y y + k i = 1,", p, 使得 ( ) . 1 − < ε = ∗ ∪ p i i m B J 利用(7)得 < + ε ≤ ∩ + − + ε = ∗ = ∗ ∗ ∗ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ∪ ∪ p i i p i i m A m B m B J m B J ( ) 2 2 . 1 1 ≤ + ε = ∑ + ε = = p i i p i i m ∪J k 因此 ( ) 2 . 1 > − ε ∗ = ∑k m A p i i 并且由于(9), 我们有 ( ( ) ( )) ( ( ) 2 ). 1 1 + − > > − ε ∗ = = ∑ f y k f y r∑k r m A p i i p i i i i (10) 由于 f 是单调增加的, 并且每个 i J 包含在某个 j I 中, 因此我们有 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )). 1 1 ∑ ∑ = = − − ≥ + − p i i i i n i i i i f x f x h f y k f y (11) 结合(8),(10)和(11)得到 ( ( ) − 2ε ) < ( ( ) + ε ). ∗ ∗ r m A s m A 由于 ε > 0 的任意性得到 rm (A) sm (A). ∗ ∗ ≤ 由于 r > s, 故必有 ( ) = 0. ∗ m A 由此得到 ( ) 0. 1 = ∗ m E 类似地 , 若 令 { }, 2 E D f D f + − = > 则可以证明 ( ) 0. 2 = ∗ m E 令 , E = E1 ∪ E2 则 ( ) = 0. ∗ m E 在(a,b) − E 上, 我们有 D f D f D f D f D f . + − − + + ≤ ≤ ≤ ≤ 因此在(a,b) − E 上(5)成立. 这表明极限 h f x h f x g x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → 几乎处处存在(有限或 ± ∞ ). 当 g(x) 有限时, f 在 x 点可导. 令 ) ( )], 1. 1 ( ) = [ ( + − f x n ≥ n g x n f x n (其中定义当 x > b 时 f (x) = f (b) ). 则 g g a.e.. n → 因此 g 是可测的. 由于 f 是单调增 加的, 故 ≥ 0. gn 我们有