王春晖等：单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 ·1369 有限变形诱导晶格转动和形状改变对滑移动量平 如图3所示，模拟区域晶体尺寸为1um×3um. 衡的影响，因此计算过程中应变一般不超过0.01. 单晶铜是面心立方(Face-centred cubic,.FCC)材料， 总塑性应变率是所有滑移系位错运动的贡献之和： 模拟系统的x轴和y轴分别沿着[110]和[001]方 向B叫，考虑到平面应变状态的3种主动滑移系的 Epli-2 C(n+sen）a (12) 相对夹角近似为{0°，±60；，由于0°取向的滑移系 其中，是位错滑移引起的塑性应变率，s:(s, 的Schmid因子为O,因此忽略0°滑移系，选取的滑 s)和(n,n)分别是滑移系a的滑移方向和滑 移方向分别与x轴成60°，滑移面间距设定为 150b.模拟平面内无初始位错，位错源随机分布在 移面法向，是滑移系a上的剪切应变率，s.根 滑移系上，为保证多滑移系变形均匀，两个滑移系 据Orowan公式， 上的位错源数目设置相当.对于单品微柱试样，模 y(a)=bp(a)(a) (13) 拟区域的左右边界视作不可逾越的障碍.为了避 其中，p@为滑移系a上位错密度，m2;@m为滑移 免数值计算的复杂性，参考通用的模型简化方法 系a上位错平均速度，ms 和实验微柱压缩形态-刘，与左右约束端相交的 1.3单晶铜塑性变形过程2D-DDD模型的建立 滑移面在模型中没有考虑，而上下边界对应为微 为了分析不同加载方式和应变率对位错运动 柱的自由表面，位错运动到上下边界不仅要计算 的影响，并且验证2D-DDD模型的准确性，本文以 位错所受镜像应力还要考虑位错的湮灭， 崔一南建立的3D-DDD模型s-为参照，并与之 初始化完成后，沿着[001]方向进行压缩加 进行对比并建立2D-DDD模型.初始化设置主要 载，以实现多滑移条件.为对比不同加载方式的作 包含材料参数和模型计算参数初始化，以及几何 用效果，分别采用位移加载和力加载方式.位移控 构型初始化两个部分.本研究对象单晶铜具体的 制加载时选择恒定应变率为1000s,根据胡克定 模拟参数如表1所示.几何构型初始化主要是确 律可将其转变为外力增长率ùpP: 定模拟区域的尺寸、滑移面取向与排列、位错源 PP=E(0-p) (14) 的位置分布以及边界条件等方面 其中，E为二维模型在平面应变条件下的杨氏模 表1单品铜2D-DDD模拟参数 量，Pa:考虑到平面应变的情况，E=E(1-v2) Table 1 Model parameters used in the 2D-DDD model for single crystal copper E为一般杨氏模量，Pa;o为加载应变率，s；p是 G/GPa b/nm P/m2 /nm 塑性应变率，s 42 0.34 0.256 50x102 力控制加载时，设定力增加率为一个恒定值， 500 对应式(14)位移控制加载方式，初始塑性应变率 △lo/nm 1 /(Pa-s) Bo/(Pa's) v/(ms) 为0.在离散位错动力学模拟中，Rao等B别提出了 50 1.5 9B 104 2.92×103 Note:G-Shear modulus;-Poisson's ratio;b-Burgers vector; 种利用截断塑性应变率控制力加载的方式，将 Source density,Mean value of initial length of dislocation 其与材料内部位错的运动联系起来.即对位错的 source;Al-Standard deviation of initial length of dislocation source; -Enhancement factor,Correlation coefficient;Bo-Static viscous 运动设置一个塑性应变率阈值，当位错运动引起 drag coefficient;vSpeed of shear wave. 的塑性应变率低于该阈值时，以恒定应力速率加 (a) y0011 (b) o Frank-Read source x[110] Two dislocations with opposite Burgers vector (111) 150b (111) m 0 (111) o-T- ,30° 入、 3 um 因3单品铜品体学取向及计算模型.(a)FCC品体滑移系取向：(b)压缩载荷下2D-DDD计算模型 Fig.3 Crystallographic orientation and calculation model of single crystal copper:(a)slip system orientation for the FCC crystal;(b)the 2D-DDD model under compression有限变形诱导晶格转动和形状改变对滑移动量平 衡的影响，因此计算过程中应变一般不超过 0.01. 总塑性应变率是所有滑移系位错运动的贡献之和： ε˙ p(i j)= 1 2 ∑ N α=1 ( s (α) i n (α) j +s (α) j n (α) i ) γ˙ (α) （12） ε˙ p(i j) s (α) i s (α) j n (α) i n (α) j γ˙ (α) 其中， 是位错滑移引起的塑性应变率，s −1；（ , ）和（ , ）分别是滑移系 α 的滑移方向和滑 移面法向， 是滑移系 α 上的剪切应变率，s −1 . 根 据 Orowan 公式， γ˙ (α) = bρ (α) v¯ (α) （13） v¯ 其中， (α) ρ (α) 为滑移系 α 上位错密度，m −2 ； 为滑移 系 α 上位错平均速度，m·s−1 . 1.3    单晶铜塑性变形过程 2D−DDD 模型的建立 为了分析不同加载方式和应变率对位错运动 的影响，并且验证 2D−DDD 模型的准确性，本文以 崔一南建立的 3D−DDD 模型[15−16] 为参照，并与之 进行对比并建立 2D−DDD 模型. 初始化设置主要 包含材料参数和模型计算参数初始化，以及几何 构型初始化两个部分. 本研究对象单晶铜具体的 模拟参数如表 1 所示. 几何构型初始化主要是确 定模拟区域的尺寸、滑移面取向与排列、位错源 的位置分布以及边界条件等方面. 表 1 单晶铜 2D−DDD 模拟参数 Table  1    Model  parameters  used  in  the  2D−DDD  model  for  single crystal copper G/GPa ν b/nm ρs /m−2 l ave 0 /nm 42 0.34 0.256 50×1012 500 Δl0 /nm η1 η2 /(Pa·s) B0 /(Pa·s) vs /(m·s−1) 50 1.5 9B 10−4 2.92×103 l ave 0 Note: G—Shear modulus; v—Poisson’s ratio; b—Burgers vector； ρs—Source density; —Mean value of initial length of dislocation source; Δl0—Standard deviation of initial length of dislocation source; η1—Enhancement factor; η2—Correlation coefficient; B0—Static viscous drag coefficient; vs—Speed of shear wave. 110 ¯ 如图 3 所示，模拟区域晶体尺寸为 1 μm×3 μm. 单晶铜是面心立方（Face−centred cubic, FCC）材料， 模拟系统的 x 轴和 y 轴分别沿着 [ ] 和 [001] 方 向[31] ，考虑到平面应变状态的 3 种主动滑移系的 相对夹角近似为{0º, ±60º}，由于 0º取向的滑移系 的 Schmid 因子为 0，因此忽略 0º滑移系，选取的滑 移方向分别 与 x 轴 成 ±60º，滑移面间距设定 为 150b. 模拟平面内无初始位错，位错源随机分布在 滑移系上，为保证多滑移系变形均匀，两个滑移系 上的位错源数目设置相当. 对于单晶微柱试样，模 拟区域的左右边界视作不可逾越的障碍. 为了避 免数值计算的复杂性，参考通用的模型简化方法 和实验微柱压缩形态[31−32] ，与左右约束端相交的 滑移面在模型中没有考虑，而上下边界对应为微 柱的自由表面，位错运动到上下边界不仅要计算 位错所受镜像应力还要考虑位错的湮灭. σ˙ app 初始化完成后，沿着 [001] 方向进行压缩加 载，以实现多滑移条件. 为对比不同加载方式的作 用效果，分别采用位移加载和力加载方式. 位移控 制加载时选择恒定应变率为 1000 s −1，根据胡克定 律可将其转变为外力增长率 ： σ˙ app = E * ( ε˙0 −ε˙p ) （14） E ∗ = E / (1−ν 2 ) ε˙0 ε˙p 其中，E *为二维模型在平面应变条件下的杨氏模 量 ， Pa；考虑到平面应变的情况 ， ， E 为一般杨氏模量，Pa； 为加载应变率，s −1 ； 是 塑性应变率，s −1 . 力控制加载时，设定力增加率为一个恒定值， 对应式（14）位移控制加载方式，初始塑性应变率 为 0. 在离散位错动力学模拟中，Rao 等[33] 提出了 一种利用截断塑性应变率控制力加载的方式，将 其与材料内部位错的运动联系起来. 即对位错的 运动设置一个塑性应变率阈值，当位错运动引起 的塑性应变率低于该阈值时，以恒定应力速率加 (111) (a) y (b) x Two dislocations with opposite Burgers vector y [001] Frank−Read source 150b 1 μm 3 μm 30º σ app (111) － (111) － x [110] － 图 3    单晶铜晶体学取向及计算模型. （a）FCC 晶体滑移系取向；（b）压缩载荷下 2D-DDD 计算模型 Fig.3    Crystallographic orientation and calculation model of single crystal copper: (a) slip system orientation for the FCC crystal; (b) the 2D−DDD model under compression 王春晖等： 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 · 1369 ·