·1370 工程科学学报，第43卷，第10期 载，反之，外加作用应力不再增加，即力增加率为0 150 这种方式需要确定临界塑性应变率和应力增量的 120 大小，可能会影响位错雪崩的大小.本文中利用加 权位错速度的方式来控制应力的加载，与塑 90 性应变率控制类似，存在一个加权位错速度阈值 h,当加权位错速度yw低于该临界值时，力加载正 60 常进行.反之，当位错爆发式运动，加权位错速度 Force loading (2D-DDD model) 30 -Displacement loading (2D-DDD model) w高于该临界值时，应力保持恒定不变.位错速度 Force loading (3D-DDD model Displacement loading (Experiment) 阈值h和加权位错速度vw的计算公式如下： 00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Gb2 Po Strain/% (15) B 图4不同加载方式下2D-DDD和3D-DDD计算s及实验获得 之1 的单品铜应力-应变曲线 Fig.4 Stress-strain curves for the 2D-DDD model of the single crystal (16) copper compared with those for the 3D-DDD modelli6l and experimentsat different loading modes 准静态条件，应变率可以在一个很宽范围并且计 其中，po为初始位错密度，m2;这里采用位错源密 算结果不再受应变率的影响2四.由于单晶铜单轴 度表示，l,表示位错段i的长度，m:y,表示位错段 压缩实验的微柱尺寸(800nm)和3D-DDD模型尺 i的速度，ms.在2D-DDD模型中，每个位错均 寸(3000b)小于本模拟尺寸参数，而且2D-DDD模 是等效的无限长，加权位错速度"w即是平均位错 拟忽略了位错攀移和交滑移等三维机制对塑性变 速度，ms 形的影响，因此可能导致模拟结果相较于实验和 2模型验证 其他模拟流动应力偏小 基于不同加载方式的单晶铜2D-DDD模型计 3结果和讨论 算得出力控制和位移控制加载的力学曲线，如图4 3.1加载方式对单晶铜力学行为的影响 所示.两种加载方式下，单晶铜的最高应力水平均 为了对比两种加载方式下单晶铜应力-应变 在100~120MPa范围内，初始塑性变形应力在90MPa 曲线形状的差异及解释其内在机理.以上述加载 左右，近似与Frank-Read位错源形核应力的均值 条件为例，单独研究发生一次位错雪崩的情况，如 (99MPa)对应，说明此时位错开始以位错源激活 图5所示.在力和位移控制加载下，发生一次位错 的方式增殖并贡献塑性应变.在经历一段纯弹性 雪崩事件时力学响应呈现不同的形式，前者为应 变形行为后，塑性阶段流动响应都呈现很强的不 变的陡增，后者为应力的陡降.具体表现为，一次 连续性，并且这种不连续的应力-应变曲线的形状 位错雪崩时，力加载时的应变陡增，对应的应变增 不同：位移加载时，应力-应变曲线呈现准周期的 量为0.02%，而应力在此时几乎无变化；位移加载 锯齿状；力加载时，应力-应变曲线呈现应力单调 时的应力突降，对应的应力增量为12.89MPa,而 增加的台阶状.这些不连续性的力学特征反映为 应变在此时几乎无变化， 微观的位错剧烈演化，随着位错增殖或运动显著， 力加载时，图6(a)对比加权位错速度和应力 真实的塑性应变呈现爆发式增长 随应变的变化曲线，可以看出，应力-应变曲线发 这种现象已经在很多微拉压实验和模拟中被 生应变突增时，加权位错速度与位错速度阈值相 发现4-3均，通过与Cui等I3D-DDD模型中力加载 等.由于外加力的增长是通过加权位错速度来调 和实验1中位移加载稳定流动应力范围的对比， 节，当加权位错速度超过位错速度阈值时，恒定速 模型预测在误差允许范围内吻合良好，定量化地 率上升的外加应力停止增加，此时相当于保载条 验证本模型的可靠性.本工作将应变率为103s 件下位错弛豫过程，位错依靠自组织演化，根据公 时2D-DDD的预测结果与实验的准静态压缩结果 式(13)，持续贡献塑性应变，速度抖动地下降；当 相对比，远远高于实验中采用的应变率，因为在离 加权位错速度低于位错速度阈值时，外加应力率 散位错动力学中，应变率小于103s时均可认为 大于0，应力继续增加，直至加权位错速度再次达载，反之，外加作用应力不再增加，即力增加率为 0. 这种方式需要确定临界塑性应变率和应力增量的 大小，可能会影响位错雪崩的大小. 本文中利用加 权位错速度的方式[15−16] 来控制应力的加载，与塑 性应变率控制类似，存在一个加权位错速度阈值 vth，当加权位错速度 vw 低于该临界值时，力加载正 常进行. 反之，当位错爆发式运动，加权位错速度 vw 高于该临界值时，应力保持恒定不变. 位错速度 阈值 vth 和加权位错速度 vw 的计算公式如下： vth = Gb2 √ ρ0 B （15） vw = ∑n i=1 livi ∑n i=1 li （16） 其中，ρ0 为初始位错密度，m −2；这里采用位错源密 度表示，l i 表示位错段 i 的长度，m；vi 表示位错段 i 的速度，m·s−1 . 在 2D−DDD 模型中，每个位错均 是等效的无限长，加权位错速度 vw 即是平均位错 速度，m·s−1 . 2    模型验证 基于不同加载方式的单晶铜 2D−DDD 模型计 算得出力控制和位移控制加载的力学曲线，如图 4 所示. 两种加载方式下，单晶铜的最高应力水平均 在100～120 MPa 范围内，初始塑性变形应力在90 MPa 左右，近似与 Frank−Read 位错源形核应力的均值 （99 MPa）对应，说明此时位错开始以位错源激活 的方式增殖并贡献塑性应变. 在经历一段纯弹性 变形行为后，塑性阶段流动响应都呈现很强的不 连续性，并且这种不连续的应力−应变曲线的形状 不同：位移加载时，应力−应变曲线呈现准周期的 锯齿状；力加载时，应力−应变曲线呈现应力单调 增加的台阶状. 这些不连续性的力学特征反映为 微观的位错剧烈演化，随着位错增殖或运动显著， 真实的塑性应变呈现爆发式增长. 这种现象已经在很多微拉压实验和模拟中被 发现[34−35] ，通过与 Cui 等[16] 3D−DDD 模型中力加载 和实验[36] 中位移加载稳定流动应力范围的对比， 模型预测在误差允许范围内吻合良好，定量化地 验证本模型的可靠性. 本工作将应变率为 103 s −1 时 2D−DDD 的预测结果与实验的准静态压缩结果 相对比，远远高于实验中采用的应变率，因为在离 散位错动力学中，应变率小于 103 s −1 时均可认为 准静态条件，应变率可以在一个很宽范围并且计 算结果不再受应变率的影响[21] . 由于单晶铜单轴 压缩实验的微柱尺寸（800 nm）和 3D−DDD 模型尺 寸（3000b）小于本模拟尺寸参数，而且 2D−DDD 模 拟忽略了位错攀移和交滑移等三维机制对塑性变 形的影响，因此可能导致模拟结果相较于实验和 其他模拟流动应力偏小. 3    结果和讨论 3.1    加载方式对单晶铜力学行为的影响 为了对比两种加载方式下单晶铜应力−应变 曲线形状的差异及解释其内在机理，以上述加载 条件为例，单独研究发生一次位错雪崩的情况，如 图 5 所示. 在力和位移控制加载下，发生一次位错 雪崩事件时力学响应呈现不同的形式，前者为应 变的陡增，后者为应力的陡降. 具体表现为，一次 位错雪崩时，力加载时的应变陡增，对应的应变增 量为 0.02%，而应力在此时几乎无变化；位移加载 时的应力突降，对应的应力增量为 12.89 MPa，而 应变在此时几乎无变化. 力加载时，图 6（a）对比加权位错速度和应力 随应变的变化曲线，可以看出，应力−应变曲线发 生应变突增时，加权位错速度与位错速度阈值相 等. 由于外加力的增长是通过加权位错速度来调 节，当加权位错速度超过位错速度阈值时，恒定速 率上升的外加应力停止增加，此时相当于保载条 件下位错弛豫过程，位错依靠自组织演化，根据公 式（13），持续贡献塑性应变，速度抖动地下降；当 加权位错速度低于位错速度阈值时，外加应力率 大于 0，应力继续增加，直至加权位错速度再次达 150 120 90 Stress/MPa 60 30 0 0.1 0.2 Force loading Displacement loading Displacement loading Force loading (2D−DDD model) (2D−DDD model) (Experiment) (3D−DDD model) 0.3 Strain/% 0.4 0.5 0 图 4    不同加载方式下 2D−DDD 和 3D−DDD 计算[16] 及实验[36] 获得 的单晶铜应力−应变曲线 Fig.4    Stress–strain curves for the 2D−DDD model of the single crystal copper  compared  with  those  for  the  3D−DDD  model[16] and experiments[36] at different loading modes · 1370 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期