Ch5微分学的基本定理及其应用 计划课时:16学时 P174235 2004.I1,0 §1中值定理(3时 极值概念 1.极值:图解,定义(区分一般极值和严格极值) 2.可微极值点的必要条件: Th( Fermat)(证) 函数的稳定点,稳定点的求法 二.微分中值定理: 1.Roll中值定理:叙述为Th1.(证)定理条件的充分但不必要性 2. Lagrange中值定理:叙述为Th2.(证)图解 用分析方法引进辅助函数,证明定理.也可用几何直观引进辅助函数 Lagrange中值定理的各种形式关于中值点的位置 系1函数f(x)在区间I上可导且f(x)≡0,→f(x)为I上的常值函数(证) 系2函数f(x)和g(x)在区间I上可导且 f(x)≡g(x),→f(x)=g(x)+c,x∈L 系3设函数f(x)在点x0的某右邻域U,(x0)上连续,在∪(x0)内可导.若 imf(x)=f(x+0)存在,则右导数f(x0)也存在,且有∫(x0)=f(x0+0)(证) 但是,∫(x0+0)不存在时,却未必有f(x0)不存在.例如对函数 x sin X≠ f(x) 0, 0, 虽然∫(0+0)不存在,但∫(x)却在点x=0可导(可用定义求得f(0)=0) Th(导数极限定理)设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内连续,在∪(x)内 可导.若极限Imf(x)存在,则∫(x)也存在,且∫(x)=limf(x).(证) 由该定理可见,若函数f(x)在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数 f(x)的连续点,要么是∫(x)的第二类间断点.这就是说,当函数f(x)在区间I上 点点可导时,导函数∫(x)在区间I上不可能有第二类间断点 系4(导函数的介值性)若函数∫在闭区间{a,b上可导,且∫(a)(b)<0, →3∈(a,b),3f(5)=0.(证) Th( Darboux)设函数∫(x)在区间[a,b上可导且f∫(a)≠∫(b).若k为介于 f'(a)与∫(b)之间的任一实数,则彐∈(a,b),3f'()=k (设∫(b)<k<∫(a),对辅助函数F(x)=f(x)-kx,应用系4的结果(证) 3. Cauchy中值定理 Th3设函数∫和g在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,∫'和g'在(a,b) 内不同时为零,又g(a)≠g(b).则在(a,b)内至少存在一点ξ,使 f∫'(5)f(b)-f(a) g(5)g(b)-g(a)Ch 5 微分学的基本定理及其应用 计划课时： 16 学时 P174—235 2004．11．05. § 1 中值定理 （ 3 时 ） 一、 极值概念： 1．极值： 图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2．可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. 二. 微分中值定理: 1. Rolle 中值定理: 叙述为 Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性. 2．Lagrange 中值定理: 叙述为 Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理. 也可用几何直观引进辅助函数. Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系 1 函数 在区间 xf )( I 上可导且 ′ xf ⇒≡ xf )( ,0)( 为 I 上的常值函数. (证) 系 2 函数 和 在区间 xf )( xg )( I 上可导且 ′ ≡ ′ +=⇒ cxgxfxgxf ,)()( ),()( x ∈I. 系 3 设函数 在点 的某右邻域 上连续, 在 内可导. 若 存在, 则右导数 也存在, 且有 xf )( 0 x )( 0 x ∪+ )( 0 + x D ∪ 0 )0()(lim0 ′ = ′ + → + xfxf xx )( 0 xf + ′ ).0()( + ′ 0 = ′ xfxf 0 + (证) 但是, ′ xf 0 + )0( 不存在时, 却未必有 不存在 + ′ xf 0 )( . 例如对函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = .0 ,0 ,0 , 1 sin )( 2 x x x x xf 虽然 不存在 f ′ + )00( , 但 却在点 可导 xf )( x = 0 (可用定义求得 f ′ = 0)0( ). Th ( 导数极限定理 ) 设函数 在点 的某邻域 内连续, 在 内 可导. 若极限 存在, 则 也存在, 且 xf )( 0 x )( 0 ∪ x )( 0 x D ∪ )(lim0 xf xx ′ → )( 0 ′ xf ).(lim)( 0 0 xfxf xx ′ = ′ → ( 证 ) 由该定理可见, 若函数 在区间 I 上可导, 则区间 I 上的每一点, 要么是导函数 的连续点, 要么是 的第二类间断点. 这就是说, 当函数 在区间 I 上 点点可导时, 导函数 在区间 I 上不可能有第二类间断点. xf )( ′ xf )( ′ xf )( xf )( ′ xf )( 系 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导 f ba ],[ , 且 ′ ′ < ,0)()( −+ bfaf ξ ∋∈∃⇒ fba ′ ξ = .0)( ),,( ( 证 ) Th ( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且 xf )( ba ],[ ′ ≠ ′ bfaf )()( . 若 为介于 与 之间的任一实数, 则 k ′ af )( ′ bf )( ξ ∈∃ ∋ ′ ξ = kfba .)( ),,( （设 ′ << ′ afkbf ),()( 对辅助函数 = )()( − kxxfxF , 应用系 4 的结果. ( 证 )） 3．Cauchy 中值定理: Th 3 设函数 f 和 g 在闭区间 上连续 ba ],[ , 在开区间 内可导 ba ),( , f ′和 g′ 在 内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 ba ),( =/ bgag ).()( ba ),( ξ, 使 )()( )()( )( )( agbg afbf g f − − = ′ ′ ξ ξ