2 序 言 小波变换的第一章给出其定义，并说明为什么要对小波作种种限制，第二至第五章回答 上面提出的三个问题，第六章介绍它们在求解数学物理方程定解问题中的应用，它一般只能 是近似解法，也顺便提及其他一些应用。小波变换的蓬勃发展是1988年以后的事，但现在 已渗透到自然科学的一切领域，包括物理学的一切分支。 小波变换急需普及，但至今对广大物理和工程工作者来说，仍是一个“神秘”的领域。原 因有三，其中两个是客观的，其一是它们涉及一些泛函分析内容，其二是小波的种类和具体 的小波很多，而且满足种种限制的小波几乎都没有解析表示，只能给出其几何或数值表示： 还有一个是主观原因，即很多问题的完整提出往往很长，如果问题的提出还没弄清就急于去 寻找解决办法，就会造成思想和方法上的混乱。本书在指出导致小波变换“神秘化”的三个 原因的同时，力图深入浅出地去解决这些问题。 本书中带星号的内容很有用，但不在对大学物理专业本科生基本要求范围之内，可供 有兴趣的读者自学之用。 学习方法希望读者掌握以下方法：在处理一个问题时首先要弄清问题是什么，即所谓 问题的提出，弄清哪些是已知的、可测的或事先要求知道的，哪些是未知的、待解决的，而以 后的一切都围着这个目的，目的达到，问题就解决了。在这个方面常见的缺点是提出问题时 常丢掉一些已知条件，因而在处理过程中不时加进一开始就应该列出的已知条件。这在从 事科研时不可避免，但在学习阶段应尽可能减少：另一个缺点是不知最后的目的，因而无法 理解以后发生的一切。在弄清问题的提出后，最重要的是了解处理问题的基本思想，这种基 本思想不牵涉大量的数学运算，它只是一种处理问题的数学的（尤其是几何的）、物理的思 路，简单明确。这是学习时特别要注意的，是决定成败之关键。紧接着是基本思想的具体实 现，这一步会遇到大量数学运算，但如果掌握了基本思想后，就不会陷于繁杂的数学运算而 不知所措。最后是技巧，处理各种问题中有各种巧妙的处理技术，使计算大大简化。总之 学习时要注意问题的完整提出，解决问题的基本思想，基本思想的实现步骤和技巧。千万不 要只重视具体步骤而轻视完整问题的提出，轻视处理问题的基本思想，也不要把原则和技巧 混为一谈。希望读者对自己觉得难的问题、章节甚至全书作这种四方面的总结。 作为学生，在学习阶段主要是学习目前已有的知识，它们是别人的发现和创造。但要真 正掌握这些知识，就必须以发明者、创造者的身份去学习。这可以说是学习方法的核心。 和现行教科书相比，本书在内容、观点、次序等方面作了若干大的变动，是否妥当，有待 试验。由于时间仓促，水平有限，定有不少谬误，希多提意见，批评指正。 本书稿，特别是复变函数论和数学物理方程部分，曾经过复旦大学倪光炯教授和北京大 学吴崇试教授的认真审阅，在小波变换及其应用部分，也曾经过安徽大学李世雄教授和国士 资源部地质所杨文采教授的认真审阅，他们提了不少宝贵意见。 在整个写作过程中，我的妻子张夏娥承相了几乎全部家务，为写作提供了良好条件：在 出版过程中，得到上海科学技术出版社的大力帮助。 我们的逆散射研究项目是由中华人民共和国自然科学基金会资助的。在此一并向他们 致以深切的谢意。 谨以此书献给我的母亲 陆振球 2002年2月于南开大学小波变换的第一章给出其定义，并说明为什么要对小波作种种限制，第二至第五章回答 上面提出的三个问题，第六章介绍它们在求解数学物理方程定解问题中的应用，它一般只能 是近似解法，也顺便提及其他一些应用。小波变换的蓬勃发展是１９８８年以后的事，但现在 已渗透到自然科学的一切领域，包括物理学的一切分支。 小波变换急需普及，但至今对广大物理和工程工作者来说，仍是一个“神秘”的领域。原 因有三，其中两个是客观的，其一是它们涉及一些泛函分析内容，其二是小波的种类和具体 的小波很多，而且满足种种限制的小波几乎都没有解析表示，只能给出其几何或数值表示； 还有一个是主观原因，即很多问题的完整提出往往很长，如果问题的提出还没弄清就急于去 寻找解决办法，就会造成思想和方法上的混乱。本书在指出导致小波变换“神秘化”的三个 原因的同时，力图深入浅出地去解决这些问题。 本书中带星号的内容很有用，但不在对大学物理专业本科生基本要求范围之内，可供 有兴趣的读者自学之用。 学习方法 希望读者掌握以下方法：在处理一个问题时首先要弄清问题是什么，即所谓 问题的提出，弄清哪些是已知的、可测的或事先要求知道的，哪些是未知的、待解决的，而以 后的一切都围着这个目的，目的达到，问题就解决了。在这个方面常见的缺点是提出问题时 常丢掉一些已知条件，因而在处理过程中不时加进一开始就应该列出的已知条件。这在从 事科研时不可避免，但在学习阶段应尽可能减少；另一个缺点是不知最后的目的，因而无法 理解以后发生的一切。在弄清问题的提出后，最重要的是了解处理问题的基本思想，这种基 本思想不牵涉大量的数学运算，它只是一种处理问题的数学的（尤其是几何的）、物理的思 路，简单明确。这是学习时特别要注意的，是决定成败之关键。紧接着是基本思想的具体实 现，这一步会遇到大量数学运算，但如果掌握了基本思想后，就不会陷于繁杂的数学运算而 不知所措。最后是技巧，处理各种问题中有各种巧妙的处理技术，使计算大大简化。总之， 学习时要注意问题的完整提出，解决问题的基本思想，基本思想的实现步骤和技巧。千万不 要只重视具体步骤而轻视完整问题的提出，轻视处理问题的基本思想，也不要把原则和技巧 混为一谈。希望读者对自己觉得难的问题、章节甚至全书作这种四方面的总结。 作为学生，在学习阶段主要是学习目前已有的知识，它们是别人的发现和创造。但要真 正掌握这些知识，就必须以发明者、创造者的身份去学习。这可以说是学习方法的核心。 和现行教科书相比，本书在内容、观点、次序等方面作了若干大的变动，是否妥当，有待 试验。由于时间仓促，水平有限，定有不少谬误，希多提意见，批评指正。 本书稿，特别是复变函数论和数学物理方程部分，曾经过复旦大学倪光炯教授和北京大 学吴崇试教授的认真审阅，在小波变换及其应用部分，也曾经过安徽大学李世雄教授和国土 资源部地质所杨文采教授的认真审阅，他们提了不少宝贵意见。 在整个写作过程中，我的妻子张夏娥承担了几乎全部家务，为写作提供了良好条件；在 出版过程中，得到上海科学技术出版社的大力帮助。 我们的逆散射研究项目是由中华人民共和国自然科学基金会资助的。在此一并向他们 致以深切的谢意。 谨以此书献给我的母亲。 陆振球 ２００２年２月于南开大学 ２ 序 言