序 言 本书被列为“九五”国家教委普通高等学校重点教材。本课程被国家教委评为名牌 课程。 本书共分三个部分，即单复变函数论、数学物理方程和小波变换及其应用。 单复变函数论，共四章。前三章是由实分析到复分析的扩充。任何扩充需且只需满足 三原则。最后一章是留数定理及其应用于定积分与级数和的计算。 数学物理方程，共九章。第一章是物理问题的数学模型，第二至第六章介绍线性偏微分 方程定解问题的基本解法，第七、八章介绍特殊函数及其应用，最后一章介绍逆散射问题和 非线性问题。 这一部分的重点是介绍求解线性系统的基本方法一分解综合方法，特别是频谱分解 和脉冲分解方法。其物理思想很简单，就是独立作用原理，而其数学根据就是正交展开问 题，特别是按本征函数系的正交展开问题。这里的频谱分解法包括空间频谱分解、时间频谱 分解和时空频谱分解，它把分离变量法和积分变换法融成一体，脉冲分解法把时间脉冲、空 间脉冲、时空脉冲、初始脉冲、边界脉冲等等以统一的观点处理，杜阿梅尔(Duhamel)方法和 黎曼方法等也在其内。考虑到连续谱分解和脉冲分解中需用广义函数，现代物理教学和科 研中也大量涉及，所以专设一章介绍广义函数，并以扩充三原则为核心介绍广义函数。 在特殊函数的处理上，既重视各个特殊函数的个性，又强调它们之间的共性，特别是强 调它们的共同研究方法和内在联系。本书还以球谐函数和圆柱函数为特例介绍超几何理论 之精髓。行波法的适用范围虽较狭窄，但也不失为一个重要方法，特别是行波概念十分有 用。逆散射和非线性问题是近二三十年米十分热门的研究课题。逆散射问题中主要介绍逆 散射微扰论和GLM方法。非线性问题中介绍Hirota变换、贝克隆(Backlund)变换和逆散 射变换。在物理应用方面，本书也作了若干更新。 在推导数学模型时，这里采用微分法，也可以采用积分法。 数学物理方程的研究对象十分广泛。只就线性系统而言，这里主要介绍标量二阶线性 双曲或抛物或椭圆型偏微分方程系统，没有或很少涉及矢量方程、高阶方程、混合型方程、积 分方程和微分积分方程。特别是矢量方程在电磁波和弹性波等理论中随着科学研究的不断 深入而日益显出其重要地位。本书也没有介绍应用中比较重要的维纳-霍普夫(Wiener- HOpf)方法及其他复变函数论方法，也没有介绍许多重要的近似方法。感兴趣的读者可参 阅有关参考书。 小波变换及其应用，共六章。小波变换介于傅氏变换和脉冲变换的中间变换，它们是傅 氏变换的发展。这里的变换是函数按某个函数系展开的问题，是一类很重要的表象。考虑 到实际应用，必须对展开函数系作很多限制。问题是：能找到满足很多限制条件的函数系， 即小波函数系吗？如果能找到，又如何去构造呢？小波变换是否也有和快速傅氏变换类似 的快速变换？ 序 言 本书被列为“九 五”国 家 教 委 普 通 高 等 学 校 重 点 教材。本课程被国家教委评为名牌 课程。 本书共分三个部分，即单复变函数论、数学物理方程和小波变换及其应用。 单复变函数论，共四章。前三章是由实分析到复分析的扩充。任何扩充需且只需满足 三原则。最后一章是留数定理及其应用于定积分与级数和的计算。 数学物理方程，共九章。第一章是物理问题的数学模型，第二至第六章介绍线性偏微分 方程定解问题的基本解法，第七、八章介绍特殊函数及其应用，最后一章介绍逆散射问题和 非线性问题。 这一部分的重点是介绍求解线性系统的基本方法———分解综合方法，特别是频谱分解 和脉冲分解方法。其物理思想很简单，就是独立作用原理，而其数学根据就是正交展开问 题，特别是按本征函数系的正交展开问题。这里的频谱分解法包括空间频谱分解、时间频谱 分解和时空频谱分解，它把分离变量法和积分变换法融成一体，脉冲分解法把时间脉冲、空 间脉冲、时空脉冲、初始脉冲、边界脉冲等等以统一的观点处理，杜阿梅尔（Ｄｕｈａｍｅｌ）方法和 黎曼方法等也在其内。考虑到连续谱分解和脉冲分解中需用广义函数，现代物理教学和科 研中也大量涉及，所以专设一章介绍广义函数，并以扩充三原则为核心介绍广义函数。 在特殊函数的处理上，既重视各个特殊函数的个性，又强调它们之间的共性，特别是强 调它们的共同研究方法和内在联系。本书还以球谐函数和圆柱函数为特例介绍超几何理论 之精髓。行波法的适用范围虽较狭窄，但也不失为一个重要方法，特别是行波概念十分有 用。逆散射和非线性问题是近二三十年来十分热门的研究课题。逆散射问题中主要介绍逆 散射微扰论和 ＧＬＭ 方法。非线性问题中介绍 Ｈｉｒｏｔａ变换、贝克隆（Ｂｃｋｌｕｎｄ）变换和逆散 射变换。在物理应用方面，本书也作了若干更新。 在推导数学模型时，这里采用微分法，也可以采用积分法。 数学物理方程的研究对象十分广泛。只就线性系统而言，这里主要介绍标量二阶线性 双曲或抛物或椭圆型偏微分方程系统，没有或很少涉及矢量方程、高阶方程、混合型方程、积 分方程和微分积分方程。特别是矢量方程在电磁波和弹性波等理论中随着科学研究的不断 深入而日益显出 其 重 要 地 位。本 书 也 没 有 介 绍 应 用 中 比 较 重 要 的 维 纳 霍 普 夫（Ｗｉｅｎｅｒ Ｈｏｐｆ）方法及其他复变函数论方法，也没有介绍许多重要的近似方法。感兴趣的读者可参 阅有关参考书。 小波变换及其应用，共六章。小波变换介于傅氏变换和脉冲变换的中间变换，它们是傅 氏变换的发展。这里的变换是函数按某个函数系展开的问题，是一类很重要的表象。考虑 到实际应用，必须对展开函数系作很多限制。问题是：能找到满足很多限制条件的函数系， 即小波函数系吗？如果能找到，又如何去构造呢？小波变换是否也有和快速傅氏变换类似 的快速变换？