第31讲微分中值定理(2) 97 第31讲微分中值定理(2) 、利用拉格朗日中值定理证明不等式 例1证明: n+1<1n(1+1)<,n=1,2,… 证先将所要证的不等式变形为 In(n+1)-Inn 1 (n+1) 由该不等式使我们联想到拉格朗日中值公式 f(6 f(), a 因此,考虑函数f(x)=lnx及区间[n,n+1 对∫(x)=lnx在[n,n+1]上使用拉格朗日中值定理,存在∈(n,n+1),使 7 在区间(n,n+1)内,导数∫(x)=1是单调减少的,从而在(n,n+1)内,有 1<1 +1 特别有 n+1<<n 即有 n-1<ln(1+1)<,n=1,2,… 由上例可以归纳出利用拉格朗日公式证明不等式的一般步骤: 第一步:选函数、选区间,即针对所要证的不等式的特点(有时需要进行恒等变形),选取 适当的函数f(x)及对应区间[a,b]; 第二步:对函数f(x)在区间[a,b]上使用拉格朗日公式: f(b)-f(a)=f()(b-a)(a<<b); 第三步:确定导数f(x)在区间(a,b)内的单调性; 第四步:取区间端点处的导数值,由f(x)的单调性得出f()的范围: f(a)<f(6)<f(b)(当f(x)单调增时), f(a)>f(4)>f(b)(当f(x)单调减时), 从而当f(x)单调增时有 f(a)<!(b)-f(a)<f(b) 或 b-a)f(a)<f(b)-f(a)<(b-a)f(b). 例2若0≤a<B<,试证: cos a s tanp-tana< cos"B 证(1)选函数∫(x),选区间[a,b].先将所需证明的不等式变为