作 物」 报 第32卷 20%可为其余5列的变异所说明，第3列变异则有 对之作状态指数分析得表1结果（具体过程见文献 99.0023%可为其余5列的变异所说明，等等。以第 [10])。在表1中，=5799时的9=9s=1,清楚 3列对其余5列的线性依赖度最高，其次为第6列。 地表明X中的X,和X,(第4和第5列)为完全线性 多元决定系数法对于评价X的某一列对其余 依赖：而4=16的94=924=0.994和94=0.95 (m-1)列的线性依赖程度很有效，但不能反映多列 则表明X,、X2和X,的高线性依赖。可以验证此结 与多列间的线性依赖度 果：用决定系数法求得上述10X中X,和X,的2 3.3状态指数法 1,X依X2和X,的R2=0.982,表明X和X,可相 此法由Belsley最先提出o,被认为是评价多列 互说明100%的变异，而X,的变异则有98.2%可被 间线性依赖度的最有效方法幻。它包括计算X中 X,和X,的变异所说明。这与表1结果相符。 各列的状态指数和分解回归系数方差的构成？： 表1 应用状态指数法评价X矩阵列间的性依赖度 两个部分。 Eval ence degr nong colum 3.3.1计算状态指数 以列平衡的(columnequ X matrix by condition index -ilibrate)X.矩阵（即X的每列元素均除以该列平 状态指数· (6)的比率g,portions,d(与) 方和的根值或标准差)为基础，作奇异值分解，得到 (.) v(b) () X.x=U.xDV' (8) 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 式(8)中的D.x。为对角阵，即 :■1 0.00 0.00s 0.00 0.00 0.00 Da。=diag(41'42…,Hn） (9 0.001 0.00 0.04 0.0 其中=1,2，，m)为X第j列的奇异值，且非 =16 79 负。由之可得m个状态指数 .000 .000 1.000 (10) the 式(10)中的4为%中的最大值。片，愈近于0， 将愈大，表示X列间的线性依赖度愈高。 4病态矩阵的改进 3.3.2分解回归系数方差V(b)的构成 当XX 可逆时， 改进或消除病态矩阵的病态，可能有多种方法， 较为普适者如下。 G-2V(B)=(X'X)-1=VD-2V (11) 对于第i个回归系数6，则 4.1简化原来的回归模型 当发现X任两列的1≥0.99或第i列依其余 +…+ 各列的R≥0.99时，表明原回归模型存在过参数 erization)情形，应毫不犹豫地删除第i列 =g+a++.手12 及与之关联的，。这时，X对Y的总回归决定度几 以上为V中的第i行列元素，9，为(b:)属于 乎不变，但XX的病态却可消除。这是改进病态最 直截了当的方法。 状态指数的成数（比率），具有9：≥0和三9：=1。 例4已知例1资料的X,和X2列的r>0.99。 X列间的线性依赖由和，推断，大的表示高 若别去X:列，即改用回归模型E(了)=凡+月，X,配 线性依赖，而该行的大？，则表示高线性依赖的列 合，则 (回归系数)。 x-47771 11 例3设有经过列平衡处理的X矩阵 -733 553 430 -3 -3 Y=[192037393638] 139 -477 501 3 由以上X和y可得回归方程=-4.0293 -498 10X= 654 -119 47 47 5.8888X1和5m=2.3332,51=0.3762,Y依X的线 -119 456 -716 252 252 性回归为极显著。应注意，本例的Y依X的线性决 30 55 -167 816 -816 定系数r2=0.9839,与例1的二元决定系数R 万方0据 -83 5 518 518 0.9897仅相差0.0058，表明别除X对回归预测的!"#可为其余 $ 列的变异所说明，第 % 列变异则有 && ’""!%#可为其余 $ 列的变异所说明，等等。以第 % 列对其余 $ 列的线性依赖度最高，其次为第 ( 列。 多元决定系数法对于评价 ! 的某一列对其余 （ ! ) *）列的线性依赖程度很有效，但不能反映多列 与多列间的线性依赖度。 ! "! 状态指数法 此法由 +,-.-,/ 最先提出［*"］ ，被认为是评价多列 间线性依赖度的最有效方法［$］ 。它包括计算 ! 中 各列的状态指数!" 和分解回归系数方差的构成 #$" 两个部分。 % 0% 0* 计算状态指数!" 以列平衡的（12-345,63 78-89:;<,）!% = ! 矩阵（即 ! 的每列元素均除以该列平 方和的根值或标准差）为基础，作奇异值分解，得到 !% = ! > "% = ! #! = ! $? ! = ! （@） 式（@）中的 #! = ! 为对角阵，即 #! = ! > A8;（B "*，"!，…，"!） （&） 其中"（" " > *，!，…，!）为 ! 第 " 列的奇异值，且非 负。由之可得 ! 个状态指数 !" > "4;C D "" （*"） 式（*"）中的"4;C为 "" 中的最大值。"" 愈近于 "，!" 将愈大，表示 &" 列间的线性依赖度愈高。 % 0% 0! 分解回归系数方差 ’（ %）的构成 当 !?! 可逆时， #) ! ’（ %）>（ !?!）) * > $#) ! $? （**） 对于第 $ 个回归系数 ($ 则 #) ! ’（ ($）> ) ! $* " ! * E ) ! $! " ! ! E … E ) ! $! " ! ! >（ #$* E #$! E … E #$!）! ! " > * ) ! $" " ! " （*!） 以上 )$" 为 $! = ! 中的第 $ 行 " 列元素，#$" 为 ’（ ($）属于 状态指数!" 的成数（比率），具有 #$" "" 和! ! " > * #$" > *。 ! 列间的线性依赖由!" 和 #$" 推断，大的 !" 表示高 线性依赖，而该!" 行的大 #$" 则表示高线性依赖的列 （回归系数）。 例 ! 设有经过列平衡处理的 ! 矩阵［*"］ *"% ! > ) F%% $$% G%" ) % ) % *%& ) GFF $"* % % ($G ) G&@ ) **& GF GF ) **& G$( ) F*( !$! !$! %" $$ ) *(F ) @*( ) @*( G" )                    @% &$ $*@ $*@  对之作状态指数分析得表 * 结果（具体过程见文献 ［*"］）。在表 * 中，!$ > $F&& 时的 #G$ > #$$ > *，清楚 地表明 ! 中的 &G 和 &（$ 第 G 和第 $ 列）为完全线性 依赖；而 !G > *( 的 #*G > #!G > " ’&&G 和 #%G > " ’&$% 则表明 &*、&! 和 &% 的高线性依赖。可以验证此结 果：用决定系数法求得上述 *" % ! 中 &G 和 &$ 的 * ! > *，&* 依 &! 和 &% 的 +! > " ’&@!，表明 &G 和 &$ 可相 互说明 *""#的变异，而 &* 的变异则有 &@ 0 !# 可被 &! 和 &% 的变异所说明。这与表 * 结果相符。 表 # 应用状态指数法评价 ! 矩阵列间的线性依赖度 $%&’( # )*%’+%,-./ ,0( ’-.(%1 2(3(.2(.4( 2(/1(( %56./ 46’+5.7 68 ! 5%,1-9 &: 46.2-,-6. -.2(9 状态指数# H25A8<825 85A,C# （!"） ’（ ($）的比率 #$" I:2J2:<825. #$" 2K ’（ ("） ’（ (*） ’（ (!） ’（ (%） ’（ (G） ’（ ($） !* > * " 0 """ " 0 """ " 0 """ " 0 """ " 0 """ !! > * " 0 ""$ " 0 ""$ " 0 """ " 0 """ " 0 """ !% > * " 0 ""* " 0 ""* " 0 "GF " 0 """ " 0 """ !G > *( " 0 &&G " 0 &&G " 0 &$% " 0 """ " 0 """ !$ > $F&& " 0 """ " 0 """ " 0 """ * 0 """ * 0 """ L34 * 0 """ * 0 """ * 0 """ * 0 """ * 0 """ 注：# 取约整数。 M2<,：# N235A,A <2 <O, 5,;:,.< 85<,B,:0 ; 病态矩阵的改进 改进或消除病态矩阵的病态，可能有多种方法， 较为普适者如下。 ; "# 简化原来的回归模型 当发现 ! 任两列的 P * P "" ’&& 或第 $ 列依其余 各列的 +! $ "" ’&& 时，表明原回归模型存在过参数 （2Q,:J;:;4,<,:8R;<825）情形，应毫不犹豫地删除第 $ 列 及与之关联的 ($ 。这时，! 对 & 的总回归决定度几 乎不变，但 !?! 的病态却可消除。这是改进病态最 直截了当的方法。 例 ; 已知例 * 资料的 &* 和 &! 列的 * S " ’&&。 若删去 &! 列，即改用回归模型 T（ ,）>$" E$* &* 配 合，则 !? > * * * * * * [ ] G G F F F ’* F ’* &? >［*& !" %F %& %( %@］ 由以上 ! 和 & 可得回归方程 , U > ) G ’"!&% E $ ’@@@@ &* 和 -(" > ! ’%%%!，-(* > " ’%F(!，, 依 & 的线 性回归为极显著。应注意，本例的 , 依 & 的线性决 定系数 * ! > " ’&@%&，与例 * 的二元决定系数 +! > " ’&@&F 仅相差 " 0 ""$@，表明删除 &! 对回归预测的 G 作 物 学 报 第 %! 卷 万方数据