广U+8(+g( 两边开平方,即得到 f2(3 g2(x) 13.设f(x)和g(x)在[a,b上连续,且f(x)≥0,g(x)>0,证明 lim [f(x)]g(x)dx = max f(x) a≤x≤b 证因为在[a,b]上g(x)>0,所以有0<m≤g(x)≤M<+。记 A=f(2)=maxf(x),不妨设A>0(因为A=0时等式显然成立)。由 imf(x)=f(),可知v0<<A,a,Bc{ab,使得∈[a,月,且当 x∈[a,B时,成立0<A-E<f(x)≤A,于是 (A-E)m(B-asf(x)g(x)da≤AM(b-a)]。 由于当n→∞时[m(B-a)→1,[M(b-a)→1,所以彐N>0,当n>N时, 成立[m(B-a)>1-与[M(b-a)<1+ 2 从而当n>N时,成立 A-2E<r(x)g(x)"<A+2E,即f(x)g(x)dt-4<2,所以 lim [(x)rg(x)dx[=A= max f(x) 2152 [ ( ) ( )] b a f x g + x dx ∫ { } { } 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx ⎡ ⎤ ≤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ， 两边开平方，即得到 { } { } { }2 1 2 2 1 2 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + ≤ + b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 。 13．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上连续，且 f (x) ≥ 0， g(x) > 0，证明 lim{ [ ( )] ( ) } max ( ) 1 f x g x dx f x a x b n b a n n→∞ ≤ ≤ = ∫ 。 证 因为在[ , a b]上 g(x) > 0，所以有0 ( < m g ≤ ≤ x) M < +∞。记 ( ) max ( ) a x b A f ξ f x ≤ ≤ = = ，不妨设 A > 0 （因为 A = 0 时等式显然成立）。 由 lim ( ) (ξ ) ξ f x f x = → , 可知 ∀ < 0 ε < A，∃[α, β ] ⊂ [a,b]，使得ξ ∈[α, β ]，且当 x ∈[α, β ]时，成立 0 < − A ε < f x( ) ≤ A，于是 { } 1 1 1 ( )[ ( )] ( ) ( ) [ ( )] b n n n n a A− − ε β m f α ≤ x g x dx ≤ A M − ∫ b a 。 由于当n → ∞时 1 [ ( )] m n β −α →1 ， 1 [ ( )] M n b a − →1 ，所以∃N > 0，当 时， 成立 n. > N 1 [ ( )] 1 m n A ε β α− > − 与 1 2 [ ( )] 1 M b n a A ε − < + ， 从而当n. > N 时，成立 { } 1 2 ( ) ( ) b n n a A f − < ε x g x dx < A+ 2ε ∫ ，即 { } 1 ( ) ( ) 2 b n n a f x g x dx − A < ε ∫ ，所以 { } 1 lim [ ( )] ( ) max ( ) b n n n a a x b f x g x dx A f x →∞ ≤ ≤ = = ∫ 。 215