且当<元<m1,6}时,由5∈xx,可知 h∈[x2x-1U[x,xU[x,x1,其中 b b 从而 有f(5+h)-f(5)≤-1++O,于是 fn(x)-f()ldxsEO-1+O,+O+)Ax, <5+(o flt n\E+e=s 所以 limIt6(x)-f(x)dx=0。 12.设f(x)和g(x)在[a,b上都可积,证明不等式 ()( Schwarz不等式)[/8广(:g( (2)( Minkowski不等式) Cru 证(1)由于对任意的,积分!(x+g()20,即 f(x)+2(x)g(xd+g(x)20 所以其判别式恒为非正的,也就是成立 f(x)g(x)dxsf'(x)dx. [g(x)dx (2)由∫(o8 adrs 5"/(g(),得到 ∫f(x)+2(x)gxd+(x S∫广(x+2广(x4g(x+广 即且当 min , 8 b a h n M ε δ − ⎧ < < ⎨ ⎩ ⎭ ⎫ ⎬ ] 时，由 1 i [ , i i ξ x x ∈ − ，可知 2 1 1 1 [,] [ , ] [ , i i i i i i h x x x x x x ] i ξ + ∈ − − ∪ ∪ − + ，其中 1 1 , n b a b a x a x b n n − + − − = − = + ，从而 有 1 1 ( ) ( ) i + − i ≤ i− + i + i+ f ξ h f ξ ω ω ω ，于是 ∫ − b a h | f (x) f (x)| dx ε ε ε ω ω ε ω ω ω < + = − ≤ + + ∆ < + + + = ∑ − + 2 2 ( ) 2 ( ) 0 1 1 1 1 n b a x n n i i i i i ， 所以 lim | ( ) ( )| h h a b f x f x dx → ∫ − = 0 0。 12．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上都可积，证明不等式 (1) （Schwarz 不等式） ； ∫ ∫ ∫ ≤ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 (2) （Minkowski 不等式） { } { } { }2 1 2 2 1 2 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + ≤ + b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 。 证（1）由于对任意的t，积分 2 [ ( ) ( )] 0 b a tf x + g x dx ≥ ∫ ，即 2 2 ( ) b a t f x dx + ∫ 2 ( ) ( ) b a t f x g x dx + ∫ 2 ( ) 0 b a g x dx ≥ ∫ 所以其判别式恒为非正的，也就是成立 ∫ ⎥ ≤ ∫ ⋅∫ ； ⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 （2）由 ( ) ( ) b a f x g x dx ≤ ∫ { } 1 2 2 ( ) b a f x dx ∫ { } 1 2 2 ( ) b a g x dx ∫ ，得到 2 ( ) b a f x dx + ∫ 2 ( ) ( ) b a f x g x dx + ∫ 2 ( ) b a g x dx ∫ 2 ( ) b a ≤ + f x dx ∫ { } 1 2 2 2 ( ) b a f x dx ∫ { } 1 2 2 ( ) b a g x dx ∫ 2 ( ) b a + g x dx ∫ ， 即 214