f(x)+「f(), 这就证明了当b=f(a)时,(x)+f(y)h=ab 在一般情况下,设Fa)=J(x)k+广(y)d-ab,则 F(a)=f(a)-b。记f(m)=b,可知当0<a<T时,F(a)单调减少,当a>T 时,F(a)单调增加,所以F(a)在a=T处取到最小值。由上面的讨论, 可知最小值F(T)=0,从而F(a)≥0,这就是所要证明的。 注当b=(a)时,[(x)+f()h=mb的结论也可直接从几何图形 上看出。 11.证明定积分的连续性:设函数f(x)和f(x)=f(x+h)在[a,b]上可 积,则有 imn门m(x)-f(x)ax=0 证由于f(x)=f(x+h)在[a,b上可积,可知存在δ>0,使得f(x) 在-b+6]上可积。设f(x)≤M(x∈[a-0b+]) 由于f(x)在[a,b上可积,vE>0,存在对区间[a,b]n等分的划分P 使得当ba<5时,成立 ∑aAx<,其中Ax, 另外,当ba<6时,记a。.m分别是f(x)在区间[a-b=a,a和 n b,b+O上的振幅,则an≤2M,on2M。 为 广1()-f(x)dk=∑1A()-x)|dk=∑(+b)-(5)Ax, 213+ ， ∫ a f x dx 0 ( ) ∫ − b f y dy 0 1 ( ) 这就证明了当b = f (a) 时， + ∫ a f x dx 0 ( ) ∫ − b f y dy 0 1 ( ) = ab 。 在一般情况下，设 1 0 0 ( ) ( ) ( ) a b F a f x dx f y dy ab − = + ∫ ∫ − ，则 F a'( ) = f (a) − b。记 f T( ) = b，可知当0 < a < T 时， 单调减少，当 时， 单调增加，所以 在 F a( ) a T > F a( ) F a( ) a = T 处取到最小值。由上面的讨论， 可知最小值F T( ) = 0，从而F a( ) ≥ 0，这就是所要证明的。 注 当b = f (a) 时， + ∫ a f x dx 0 ( ) ∫ − b f y dy 0 1 ( ) = ab 的结论也可直接从几何图形 上看出。 11． 证明定积分的连续性：设函数 f x( )和 f x( ) h = f x( ) + h 在[ , 上可 积，则有 a b] lim | ( ) ( )| h h a b f x f x dx → ∫ − = 0 0。 证 由于 f x h ( ) = f x( ) + h 在[ , a b]上可积，可知存在δ > 0，使得 在 f x( ) [a − δ ,b + δ ]上可积。设 f ( ) x M≤ ( x ∈[a − δ ,b + δ ])。 由于 f x( )在[ , a b]上可积，∀ε > 0，存在对区间[ , 等分的划分 ， 使得当 a b] n P 8 b a n M − ε < 时，成立 1 6 n i i i x ε ω = ∑ ∆ < ，其中 (i 1,2, ,n) n b a xi = " − ∆ = 。 另外，当 b a n δ − < 时，记 0 1 , ω ωn+ 分别是 f (x) 在区间[ , b a a a n − − ] 和 [ , ] b a b b n − + 上的振幅，则 0 ω ≤ 2M ， 1 2 ωn+ ≤ M 。 因为 1 1 1 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( ) ( ) i i n n b x h h i a x i i i i f x f x dx f x f x dx f ξ h f ξ x − = = − = ∑ − = ∑ + − ∫ ∫ ∆ ， 213