-a)rf(x)h2∫/(x。 对不等式两端应用积分第一中值定理,则存在x∈[0a]及 x∈a1,使得(-a)(x)k=a(-a)(x)及a1x)=a(-a)(x)。 由于显然有f(x)2(x),所以得到-a(x)k2af(x)。 证明二:设F(a)=(x)dx-a/x)k,则ra)=(a)-J(x)。由积 分第一中值定理,5∈[01使得/(5)=/(x),即F(a)=f(a)-f(5) 由于∫单调减少,所以当0<a<5时,FYa)≥0,即F(a)单调增加 当ξ<a<1时,F(a)≤0,即F(a)单调减少。由F(0)=F()=0,即可得 到va∈[0,成立F(a)≥0。 证明三:当a=0时,不等式显然成立。当a∈(0,时,令x=at,利用 ∫单调减少,就得到(xk=a[(am≥a)d 10.( Young不等式)设y=f(x)是[o,∞)上严格单调增加的连续函数, 且f(0)=0,记它的反函数为x=f-1(y)。证明 /()k+()h≥ab(a>0,b>0) 证先证当b=f(a)时等号成立 将区间[0a作划分:0=x<x1<…<xm<xn=a,记 y=f(x,)(=012,…n),则0=y<y<…<yn<y=b,再记 Ax=x1-x1,Ay2=y-y,于是 ∑f(x-)x+∑f(),=∑y1(x1-x-)+∑x(y1-y-) 记A=mxx},当A→0时,∑f(x)Ax+∑f()y的极限为 212∫ ∫ − ≥ 1 0 (1 ) ( ) ( ) α α α f x dx α f x dx。 对不等式两端应用积分第一中值定理，则存在 1 x ∈[0,α] 及 2 x ∈[ , α 1]，使得 0 (1 ) f (x d) x α −α ∫ = 1 α(1−α) f (x ) 及 1 2 f ( ) x dx (1 ) f (x ) α α α= −α ∫ 。 由于显然有 f (x1 ) ≥ f (x2 )，所以得到 。 ∫ ∫ − ≥ 1 0 (1 ) ( ) ( ) α α α f x dx α f x dx 证明二：设 ，则 。由积 分第一中值定理， 1 0 0 F( ) f (x d) x f (x d) x α α = −α ∫ ∫ 1 0 F f '(α α ) = − ( ) f (x) ∫ dx ∃ ∈ξ [0,1],使得 1 0 f ( ) ξ = f x( )dx ∫ ，即F f '(α) = (α ξ ) − f ( )。 由于 f 单调减少，所以当0 <α < ξ 时，F '(α) ≥ 0，即F(α)单调增加； 当ξ <α < 1时， F '(α) ≤ 0，即 F(α) 单调减少。由 F F (0) = (1) = 0，即可得 到∀α ∈[0,1], 成立 F( ) α ≥ 0。 证明三：当α = 0时，不等式显然成立。当α ∈ (0,1]时，令 x =αt，利用 f 单调减少，就得到 。 ∫ ∫ ∫ = ≥ 1 0 1 0 0 f (x)dx α f (αt)dt α f (t)dt α 10．（Young 不等式）设 y f = (x)是[ , 0 ∞)上严格单调增加的连续函数， 且 f (0) = 0，记它的反函数为 x f = y −1( )。证明 + ∫ a f x dx 0 ( ) 1 0 ( ) b f y dy ab − ≥ ∫ （a > 0, b > 0）。 证 先证当b = f (a) 时等号成立。 将区间[0, a]作划分：0 = x0 < x1 < " < xn−1 < xn = a ，记 y f (x )(i 0,1,2, , n) i = i = " ，则 0 = y0 < y1 < " < yn−1 < yn = b，再记 1 1 , ∆ i = i − i− ∆ i = i − i− x x x y y y ，于是 ∑ ∑ ∑ ∑= − = − − = − = − ∆ + ∆ = − + − n i i i i n i i i i n i i i n i i i f x x f y y y x x x y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = xn yn − x0 y0 = ab， 记 max{ } 1 i i n = ∆x ≤ ≤ λ ，当λ → 0时，∑ ∑ 的极限为 = − = − ∆ + ∆ n i i i n i i i f x x f y y 1 1 1 1 ( ) ( ) 212