证由∫(x)在[anb]上连续,可知f2(x)在[a,b]上连续,且f2(x)≥0。由 上题即可得到结论 7.设函数f(x)在[ab]上连续,在(a,b)内可导,且满足 f(x)dx=f(b)。 证明:存在ξ∈(a,b),使得f()=0 证由积分第一中值定理,3n∈[a,a+,使得 a+b (m)=22(x)=/(b) 再对∫(x)在[b上应用 Rolle定理,3∈(n,b)c(a,b),使得f(2)=0。 8.设g()在[0,a上连续,f(x)在(-∞,+∞)上二阶可导,且∫"(x)≥0。证 明 o(odts- f(o(o)dr 证将区间[0a作划分:0=10<1<…<tn1<tn=a,记 M=1-1-,12=mx1M:5;∈-4】由于/下凸,由 Jensen不等式(第 5.1节习题24),得到 q(5;) f(o(si)) 令4→0,上述不等式就转化为 ood≤f(o(m)dt 9.设f(x)在[0上连续,且单调减少,证明对任意a∈[0,成立 f(x)dx alf(x)dx 证证明一:问题等价于证明对任意a∈0,成立 211证 由 f x( )在[ , a b]上连续，可知 2 f (x) 在[ , 上连续，且 。由 上题即可得到结论。 a b] 2 f x( ) ≥ 0 7．设函数 f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足 ( ) ( ) 2 2 f x dx f b b a a b a = − ∫ + 。 证明：存在ξ ∈ (a,b)，使得 f ′(ξ ) = 0。 证 由积分第一中值定理， [ , ], 2 a b η a + ∃ ∈ 使得 f ( ) η = ( ) ( ) 2 2 f x dx f b b a a b a = − ∫ + ， 再对 f (x)在[ , η b]上应用 Rolle 定理，∃ξ ∈ ⊂ ( , η b) (a,b) ，使得 f ′(ξ ) = 0。 8．设ϕ(t)在[0, a]上连续， f (x)在(−∞,+∞) 上二阶可导，且 。证 明 f ′′(x) ≥ 0 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ a t dt a f 0 ( ) 1 ϕ ∫ a f t dt a 0 ( ( )) 1 ϕ 。 证 将区间[0, a]作划分：0 = t0 < t1 < " < tn−1 < tn = a，记 , max{ }, [ , ] 1 1 1 i i i i i n i i i t t t t t t − ≤ ≤ ∆ = − − λ = ∆ ξ ∈ 。由于 下凸，由 Jensen 不等式（第 5.1 节习题 24）,得到 f ∑ ∑ = = ∆ ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ n i i i n i i i a t f a t f 1 1 ϕ(ξ ) (ϕ(ξ )) ， 令λ → 0，上述不等式就转化为 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ a t dt a f 0 ( ) 1 ϕ ∫ a f t dt a 0 ( ( )) 1 ϕ 。 9．设 f (x)在[0,1]上连续，且单调减少，证明对任意α ∈[0,1]，成立 ∫ ∫ ≥ 1 0 0 f (x)dx α f (x)dx α 。 证 证明一：问题等价于证明对任意α ∈[0,1]，成立 211