证如设a<b<c,则∫f(xk=/(x)+(xk,于是 f(x)dx=f( ∫(x)dk=(x)女+/(x)。 其他情形可类推。 4.判断下列积分的大小 (1)「x和fx (2)」1xx和x2dr 厂(yd和2 (4)[sinx和「2xdr 解(1)当x∈(0)时,x>x2,所以fxt>x2d。 (2)当x∈(2)时,x<x2,所以fxdk<x。 (3)当x∈(-2,-1时,()2>2,而当x∈(01)时,2<2, 由积分第一中值定理,可得2(2)d>2d (4)当x>0时,sinx<x,所以店sinx<xk。 5.设f(x)在[a,b上连续,f(x)≥0但不恒为0,证明 f(x)dhx>0。 证证明一:不妨设∫(x)>0,xo∈(a,b)。由limf(x)=f(x)>0,存在c>0 与δ>0(6<min{a-x,b-x}),使得当x∈(x-6,x+6)时,成立f(x)>c 于是 f(x)dx= f(x)dx f(x)tr+/° Jsto / (x)axe/oto ∫(x)dx≥2co>0 f(x)>0,x=a或x=b的情况可类似证明 证明二:用反证法。若∫(x=0,则v∈a∫/(x=0。由于 F()=f(x)在回b上可导,且F()=f(∈a,所以有()=0, 与题设矛盾,从而必定成立/(x)>0。 6.设(x)在ab上连续,且∫f2(x)tx=0,证明f(x)在a,b上恒为0 210证 如设a < b < c，则 ，于是 ∫ ∫ ∫ = + c b b a c a f (x)dx f (x)dx f (x)dx ∫ b a f (x)dx= ∫ 。 c a f (x)dx ∫ ∫ ∫ − = + b c c a c b f (x)dx f (x)dx f (x)dx 其他情形可类推。 4．判断下列积分的大小： ⑴ 0 xdx 和 ； 1 ∫ x dx 2 0 1 ∫ ⑵ 1 xdx 和 ； 2 ∫ x dx 2 1 2 ∫ ⑶ ( ) 1 2 2 1 x dx − − ∫ 和 0 2 ； 1 x ∫ dx ⑷ sin xdx 0 2 π ∫ 和 xdx 0 2 π ∫ 。 解（1）当 x ∈ (0,1)时， ，所以 > 。 2 x > x xdx 0 1 ∫ x dx 2 0 1 ∫ （2）当 x ∈ (1, 2)时， x < x 2，所以 xdx 0 1 ∫ < x dx 2 0 1 ∫ 。 （3）当 x ∈ (−2,−1)时， ) 2 2 1 ( >x ，而当 x ∈ (0,1)时，2 < 2 x ， 由积分第一中值定理，可得 ( ) 1 2 2 1 x dx − − ∫ > 2 0 1 x ∫ dx 。 （4）当 x > 0时，sin x < x，所以 sin xdx 0 2 π ∫ < xdx 0 2 π ∫ 。 5．设 f (x)在[ , a b]上连续， f x( ) ≥ 0但不恒为 0，证明 f x dx a b ( ) ∫ > 0。 证 证明一：不妨设 ( ) 0, ( , ) f x0 > x0 ∈ a b 。由 lim ( ) ( ) 0 0 0 = > → f x f x x x ，存在 与 c > 0 δ δ > < 0( min{a x − 0 ,b − x0})，使得当 ( , ) x ∈ x0 − δ x0 + δ 时，成立 。 于是 f (x) > c ( ) b a f x dx = ∫ 0 ( ) x a f x dx −δ + ∫ 0 0 ( ) x x f x dx δ δ + − + ∫ 0 ( ) b x f x dx +δ ≥ ∫ 0 0 ( ) x x f x dx δ δ + ∫ − ≥ 2cδ > 0 。 0 f x( ) > 0 , 0 x = a 或 0 x = b的情况可类似证明。 证明二：用反证法。若 ∫ ( ) = 0 ，则 b a f x dx [ , ], ( ) 0 t a ∀t a ∈ = b f x dx ∫ 。由于 = ∫ 在[ , 上可导，且 t a F(t) f (x)dx a b] F′(t) = f (t),t ∈[a,b]，所以有 ， 与题设矛盾，从而必定成立 。 f t( ) ≡ 0 ( ) > 0 ∫ b a f x dx 6．设 f (x)在[ , a b]上连续，且 a f x dx ，证明 在[ , 上恒为 0。 b 2 ∫ ( ) = 0 f x( ) a b] 210