习题7.2定积分的基本性质 1.设f(x)在[a,b上可积,g(x)在a,b上定义,且在[a,b]中除了有限 个点之外,都有f(x)=g(x),证明g(x)在[a,b上也可积,并且有 f(x)dx=g(x)dx 证设仅在x=c(=12,…,P)处f(x)≠g(x)。对区间[ab作划分 a=x0<x1<…<xn1<xn=b,任取5∈[x21,x],则 ∑g(5)Ax-∑∫(5x=∑(g(5)-f()△x 其中∑表示仅对含有{c}中点的小区间(至多2P个)求和。 记M= sup gt(x),M2=sup(x),vE>0,取δ 则当 2p(M1+M2) =max{△x}<δ时, (g(5)-f(5)Ax<E, 所以由f(x)可积,可知g(x)也可积,且成立(x)=g(x 2.设f(x)和g(x)在a,b上都可积,请举例说明一般有 f(x)g(x)dx(x)] .g(x)dx) 解例如f(x)=g(x)=1x∈021,则∫f(x)dx=2,J,8(x)d=2, f(x)g(x)dx=2,所以f(x)g(x)dx≠f(x)t)g(x 3.证明:对任意实数ab,只要f(x),ff(x)和(x)都存 在,就成立 f(x)dx=f(xdx+lf(xdx习 题 7.2 定积分的基本性质 1． 设 f (x)在[ , a b]上可积，g x( )在[ , a b]上定义，且在[ , a b]中除了有限 个点之外，都有 f x( ) = g(x)，证明 g x( )在[ , a b]上也可积，并且有 f x dx g x dx a b a b ( ) ( ) ∫ = ∫ 。 证 设仅在 x c (i 1,2, , p) = i = " 处 f (x) ≠ g(x) 。对区间 作划分： ，任取 [a,b] a = x0 < x1 < " < xn−1 < xn = b [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − ，则 1 1 ( ) ( ) n n i i i i x ' ( ( ) ( )) i i g f ξ ξ i i g x ξ ξ f = = ∑ ∑ ∆ − ∆ i = ∑ − ∆x ， 其中 表示仅对含有{ ' ∑ ci} 中点的小区间（至多2 p 个）求和。 记 1 2 sup ( ) , sup ( ) a x b a x b M g x M f x ≤ ≤ ≤ ≤ = = , ∀ε > 0, 取 1 2 2 ( p M M ) ε δ = + ，则当 λ = ∆ < δ ≤ ≤ max{ } 1 i i n x 时, ' ( ( ) ( )) i i i ∑ g f ξ − ξ ε ∆x < , 所以由 f x( )可积, 可知 g x( )也可积, 且成立 f x dx g x dx 。 a b a b ( ) ( ) ∫ = ∫ 2．设 f (x)和 g x( )在[ , a b]上都可积，请举例说明一般有 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。 解 例如 f (x) = g(x) = 1, x ∈[0, 2]，则 2 2 0 0 f ( ) x dx = 2, g( ) x dx = 2 ∫ ∫ ， 2 0 f x( )g( ) x dx = 2 ∫ ,所以 ⎟。 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 3． 证明：对任意实数 ，只要 ， 和 都存 在，就成立 a,b, c f x dx a b ( ) ∫ f x dx a c ( ) ∫ f x dx c b ( ) ∫ f x dx f x dx f x dx a b a c c b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 。 209